2011高三数学暑假小一轮复习（补充篇）

2012高三数学暑假小一轮复习（补充篇）第1页共24页【必修二--空间几何体】直线、平面、简单几何体1.（1）三视图包括：正视图：物体方向投影所得到投影图；它能反映物体高度和长度；左视图：物体方向投影所得到投影图；它能反映物体高度和宽度；俯视图：物体方向投影所得到投影图；它能反映物体的长度和宽度；（2）三视图画法规则：高平齐：图与图高要保持平齐；长对正：图与图长应对正；宽相等：图与图宽度应相等；先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成。（3）斜二测画法应注意的地方：（１）在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。画直观图时，把它画成对应轴o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135°）；（２）平行于ｘ轴的线段长不变，平行于ｙ轴的线段长减半．（３）直观图中的４５度原图中就是９０度，直观图中的９０度原图一定不是９０度．如图（1），三角形ABO的面积是6；2．表（侧）面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=rh2；③体积：V=S底h⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rl；③体积：V=31S底h：⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=lrr)('③体积：V=31（S+''SSS）h；⑷球体：①表面积：S=24R；②体积：V=334R3.正四面体(设棱长为a)的性质：①全面积23Sa；②体积3212Va；③对棱间的距离22da；④相邻面所成二面角13arccos；⑤外接球半径64Ra；⑥内切球半径612ra；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值63ha.4.（理科）用向量方法求空间角和距离⑴求异面直线所成的角：设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角||||||arccosabab；⑵求线面角：设l是斜线l方向向量,n是平面法向量,与直线l则斜线l的锐夹角为,||||||coslnln，则斜线l与平面成角为090，或||||||sinlnln；注意：||||||coslnln得到的角是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；⑶求二面角(法一)在内al,在内bl,其方向如图(略),则||||cosabab；(法二)设1n,2n是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角2012高三数学暑假小一轮复习（补充篇）第2页共24页l的平面角1212||||cosnnnn；注：12120||||cosnnnn不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；（4)求点面距离：设n是法向量,在内取一点B,则A到距离|||||cos|||ABndABn(即AB在n方向上投影的绝对值)5.坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz时，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。(1)让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指能指向z轴的正方向，则称为右手直角坐标系；(2)OQ=x、OR=y、PA=z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A（x,y,z）；(3)平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，不共线ba,，bnan,则n为平面的法向量。应知应会知识和方法：1．(1)一个正方体的内切圆柱与外接圆柱的表面积之比是______________．解：3∶（2＋22）(2)一将一个圆锥截成一个圆台，若圆台的上下底面半径之比是1：4，母线长是10cm，则圆锥的母线长是______________．解：403cm．(3)与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为_____________．解：π6(4)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．解：2＋42．(5)一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，则其侧面积为_____________．解：34a2．(6)在△ABC中，AB＝2，BC＝1．5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．解：32π．(7)用一个半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_______．答案：32r(8)棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,若E、G分别为C1D1、BB1的中点，F是正方形ADD1A1的中心,则空间四边形BGEF在正方体的六个面内射影的面积的最大值为。解：12．说明：考查柱、锥、台、球和简单组合体的表面积和体积。要求掌握柱、锥、台、球的表面积和体积的计算，会拆分几何体。2．(1)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若mα，l∩α＝A，点Am，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若lα，mα，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β．其中为假命题的是___________．解：③．(2)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；③若mα，nβ，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，mα，m∥β，nβ，n∥α，则α∥β．其中真命题是___________．解：③④．(3)给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，2012高三数学暑假小一轮复习（补充篇）第3页共24页②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的是．解：①②④．说明：考查空间线面位置关系的判断和性质．要求能够根据图形想象空间两条直线、直线与平面的位置关系，能够正确进行文字语言、符号语言、图形语言之间的转化．3．(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是____．解：1＋2π2π．(2)三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝30°，M和N分别是棱SB和SC上的点，则△AMN周长的最小值为_______．解：2．说明：空间几何体的展开图的处理方法．4．如图，M，N，K分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．（1）求证：AN∥平面A1MK；（2）求证：平面A1B1C平面A1MK．证明：（1）证明：连结NK．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥＝DD1．∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥＝D1K．∴DD1KN为平行四边形．∴KN∥=DD1．∴AA1∥=KN．∴AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K．∵A1K平面A1MK，AN/平面A1MK，∴AN∥平面A1MK．（2）连结BC1．由正方体ABCD－A1B1C1D1得AB∥=C1D1，又∵M，K分别AB，C1D1中点，∴BM∥=C1K．∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，∴A1B1BC1．∵MK∥BC1，∴A1B1MK．∵BB1C1C为正方形，∴BC1B1C．∴MKB1C．∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK平面A1B1C．∵MK平面A1MK，∴平面A1MK平面A1B1C．说明：考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、两平面平行、垂直的判定与性质．要求能够运用相关的判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题．．【必修二--直线与圆】一、直线的基本量1．两点间距离公式：若)y,x(B),y,x(A2211，则212212)()(yyxxAB特别地：x//AB轴，则AB；y//AB轴，则AB.2．直线l：ykxb与圆锥曲线C：(,)0fxy相交的弦AB长公式消去y得02cbxax（务必注意0），设A),(),,(2211yxByx则：2222212112(1)()(1)[()4]ABkxxkxxxx3．直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角[0,)；当2时，直线的斜率tank.（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图4．直线在x轴和y轴上的截距（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义.5．直线的方向向量（1）若直线的斜率为k，则直线的方向向量是（1，k）；（2）若直线的方程为0CByAx，则直线的方向向量是（B，－A）.ABCDA1B1C1D1MNKABCDA1B1C1D1MNK2012高三数学暑假小一轮复习（补充篇）第4页共24页二、直线的方程1．五种形式：点斜式)(xxkyy、斜截式y=kx+b、两点式121121xxxxyyyy、截距式1byax、一般式0CByAx.2．一般不用“两点式”；注意每一种形式的适用条件；注意两种形式之间的转换.三、两条直线的位置关系1．判断方法：系数判断法、斜率判断法、方向向量判断法.2．有用的结论两条直线1110AxByC、2220AxByC垂直12120AABB.四、到角与夹角（前提是1l与2l相交）1．1l到2l的角，指从1l按逆时针方向旋转到2l所成的角，范围),0(，若直线1l的斜率为k1，直线2l的斜率为k2，则21121tankkkk.2．1l与2l的夹角，指1l、2l相交所成的锐角或直角，范围是(0,]2，若1l与2l的夹角为，则tan21211kkkk，适用范围：k1，k2都存在且k1k2－1.3．注意：1l2l时，夹角=到角=2；当1l与2l中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角.五、点到直线的距离1．点00(,)Pxy到直线0CByAx的距离：22BACByAxd2．平行线间距离：若10AxByC、20AxByC，则2221BACCd.注意点：x，y对应项系数应相等.六、圆1．确定圆需三个独立的条件（1）标准方程：222)()(rbyax，其中圆心为(,)ab，半径为r.（2）一般方程：022FEyDxyx（)0422FED其中圆心为(,)22DE，半径为2422FEDr.（3）圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为(,)ab，半径为r.2．直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系（1）位置关系判断方法：半径比较法（首选）、判别式法.（2）求圆的弦长方法：垂径定理.（3）求圆的切线：“dr”.（2）一个结论：过圆222xyr上的点P00(,)xy的切线的方程为200xxyyr.3．两圆的位置关系：当两圆相交时，公共弦所在的直线方程为…【应知应会知识和方法】1．（1）直线过点(0，－3)，(－3，0)，则此直线的斜率是_______________．解：－1．（2）倾斜角为120的直线的斜率是____________．解：－3．（3）若直线l的斜率k＜0，则直线l的倾斜角的取值范围是___________．2012高三数学暑假小一轮复习（补充篇）第5页共24页解：(2，)．考查直线的倾斜角、斜率、斜率公式，理解倾斜角与斜率之间关系．注意正切函数的图象与性质的适当应用．2．（1）过两点(－1，1)和(3，9)的直线的方程是________________．解：2x－y＋3＝0．（2）已知直线l的一般式方程为3x＋5y－15＝0，则直线l的截距式方程是____________．解：x5＋y3＝1．（3）过点(5，2)，且在x