2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：（二十五） Word版含解析

课下能力提升(二十五)[学业水平达标练]题组1求值问题1．设5πθ6π，cosθ2＝a，则sinθ4＝()A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a22．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值是()A．－433B．8C．43D．－433．已知cosθ＝－35，且180°θ270°，求tanθ2.题组2三角函数式的化简4．化简2＋cos2－sin21的结果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos15．化简sinα2＋cosα22＋2sin2π4－α2得()A．2＋sinαB．2＋2sinα－π4C．2D．2＋2sinα＋π4题组3三角恒等式的证明6．求证：sin2x2cosx1＋tanx·tanx2＝tanx.7．求证：2sin4x＋34sin22x＋5cos4x－12(cos4x＋cos2x)＝2(1＋cos2x)．[能力提升综合练]1．函数f(x)＝cos2x＋π4，x∈R，则f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数2．设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2tan13°1＋tan213°，c＝1－cos50°2，则有()A．abcB．abcC．acbD．bca3．已知关于x的方程x2＋xcosAcosB－2sin2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是()A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________．5．设α为第四象限角，且sin3αsinα＝135，则tan2α＝________．6．化简：(1)2sin8＋1＋2cos8＋2；(2)12＋1212＋12cos2α3π2α2π.7．设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)的值域．答案[学业水平达标练]1.解析：选D∵θ4∈5π4，6π4，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.2.解析：选Bf(x)＝2tanx－2sin2x2－sin2x2－cos2x212sinx＝2tanx＋cosx12sinx＝2(tanx＋1tanx)．又tanπ12＝sinπ61＋cosπ6＝13＋2，∴原式＝213＋2＋3＋2＝8.3.解：法一：∵180°θ270°，∴90°θ2135°，∴tanθ20，∴tanθ2＝－1－cosθ1＋cosθ＝－1－－351＋－35＝－2.法二：∵180°θ270°，∴sinθ0，∴sinθ＝－1－cos2θ＝－1－925＝－45，∴tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝－451＋－35＝－2.4.解析：选C原式＝2＋1－2sin21－sin21＝3－3sin21＝3（1－sin21）＝3cos21＝3cos1.5.解析：选C原式＝1＋2sinα2cosα2＋1－cos[2(π4－α2)]＝2＋sinα－cosπ2－α＝2＋sinα－sinα＝2.6.证明：∵左边＝2sinx·cosx2cosx1＋sinxcosx·1－cosxsinx＝sinx·1＋1－cosxcosx＝sinxcosx＝tanx＝右边，∴原式成立．7.证明：左边＝21－cos2x22＋34sin22x＋51＋cos2x22－12(cos4x＋cos2x)＝2×1－2cos2x＋cos22x4＋34sin22x＋5×1＋2cos2x＋cos22x4－12(2cos22x－1＋cos2x)＝(2×14＋54＋12)＋[2×(－2cos2x4)＋5×2cos2x4－12cos2x]＋(2×cos22x4＋5×cos22x4－12×2cos22x)＋34sin22x＝94＋cos2x＋34cos22x＋34sin22x＝94＋cos2x＋34＝3＋cos2x＝3＋(2cos2x－1)＝2(1＋cos2x)＝右边．∴原式成立．[能力提升综合练]1.解析：选D由cos2x＝2cos2x－1，得f(x)＝cos2(x＋π4)＝1＋cos2x＋π22＝12＋12cos2x＋π2＝12－sin2x2，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．2.解析：选Ca＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∴acb.3.解析：选C由一元二次方程根与系数的关系得－cosAcosB＝12－2sin2C2，即cosAcosB＝sin2C2＝sin2π－（A＋B）2＝cos2A＋B2＝12[1＋cos(A＋B)]．得cos(A－B)＝1.∴A＝B.4.解析：由cos2θ＋cosθ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或12.当cosθ＝－1时，有sinθ＝0；当cosθ＝12时，有sinθ＝±32.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或3或－3.答案：0或±35.解析：sin3αsinα＝sin（2α＋α）sinα＝（1－2sin2α）sinα＋2cos2αsinαsinα＝2cos2α＋1＝135，所以cos2α＝45，又α是第四象限角，所以sin2α＝－35，tan2α＝－34.答案：－346.解：(1)原式＝2sin24＋cos24＋2sin4cos4＋2（2cos24－1）＋2＝2（sin4＋cos4）2＋4cos24＝2|sin4＋cos4|＋2|cos4|，由于π43π2，∴sin40，cos40，sin4＋cos40，∴原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4.(2)∵3π2α2π，∴3π4α2π.原式＝12＋121＋cos2α2＝12＋12|cosα|＝12＋12cosα＝1＋cosα2＝cos2α2＝－cosα2.7.解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈12，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点π4，0，得fπ4＝0，即λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin53x－π6－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．