福建省莆田一中2011期中考试高三数学理科

莆田一中2011-2012上学期期中考试题高三数学(理科)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在题后的括号内．1.“24xkkZ”是“tan1x”成立的（）A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.2．为了得到函数xy2cos的图象，可以将函数62sinxy的图象（）A.向右平移6B.向右平移3C.向左平移6D.向左平移33．积分2112()exdxx的值是（）A.1B.eC.e+1D.e24．定义运算,12112xaababbab例如：，则的取值范围是（）A．(0,1)B．(,1)C．(0,1]D．[1,+)5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=x1B.y=2-xC.y=lgxx11D.y=-|x|6．函数1fxInxx的零点所在的区间是（）A0,1B1,eC,3eD3,7．若2,3AB则22coscosAB的最小值和最大值分别为（）33133312.1,.,.1,1.,122222222ABCD8．点0,02xMabyxy在由不等式组确定的平面区域内，则点Nabab，所在平面区域的面积是（）A．1B．2C．4D．89.设命题P：函数f(x)=axx(a0)在区间(1,2)上单调递增；命题Q：不等式|x－1|－|x+2|4a对任意x∈R都成立。若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．43a≤1B.43≤a1C．0a≤43或a1D.0a43或a≥110.若关于x的不等式x2＜2﹣∣x﹣a∣至少有一个负解，则参数a的取值范围为（）A（-45，2）B（-49，2）C（-47，2）D.（-47，3）第Ⅱ卷（填空题和解答题，11小题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在题中横线上.．11．给出下面的3个命题：（1）函数|)3x2sin(|y的最小正周期是2；（2）函数)23xsin(y在区间)23,[上单调递增；（3）45x是函数)25x2sin(y的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是．12．平面向量,ab的夹角为060，(2,0),||1,|2|abab则13、若函数)2||,0)(sin()(xxf的图象（部分）如图所示，则，。14．已知函数3()3,fxxxxR，若0,2时，不等式(cos23)(42cos)0ffmm恒成立，则实数m的取值范围是15.已知函数()fx对任意的xR∈都有(1)(1)fxfx，函数1()2fx是奇函数，当01x≤≤时，()21fxx，则方程1()3fx在区间[3,4]内的所有根的和等于_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数2sincoscos2fxxxx(xR).(1)当x取什么值时,函数fx取得最大值,并求其最大值;(2)若为锐角，且283f，求tan的值.17．（本小题满分13分）已知mR，设P：不等式2560mm；Q：函数6)34()(23xmmxxxf在(,)上有极值,求使PQ为真命题的m的取值范围。19.(本题满分13分)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。BCDAOP莆田一中2011-2012上学期期中考试题高三数学(理科)答案一选择题二填空题：11、①②12.2313.12614.422m15.113三解答题：16．小题主要考查三角函数性质,同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:2sincoscos2fxxxxsin2cos2xx……1分222sin2cos222xx……2分2sin24x.……4分∴当2242xk,即(8xkkZ)时,函数fx取得最大值,其值为2.…6分(2)解法1:∵283f,∴22sin223.……7分∴1cos23.……8分∵为锐角，即02,∴02.∴222sin21cos23.……9分∴sin2tan222cos2.∴22tan221tan.10分∴22tantan20.∴2tan1tan20.∴2tan2或tan2(不合题意,舍去)……12分12345678910ADDCCBBCCB∴2tan2.……13分解法2:∵283f,∴22sin223.∴1cos23.∴212cos13.……8分∵为锐角，即02,∴6cos3.……10分∴23sin1cos3.……11分∴sin2tancos2.……13分17、由已知不等式得1m或6m………………………………2分对1m或6m时，P是正确的…4分对函数6)34()(23xmmxxxf求导3423)('2mmxxxf……6分令0)('xf，即034232mmxx当且仅当0时，函数f(x)在(－,+)上有极值…………8分由0161242mm得1m或4m，………………9分因为，当1m或4m时，Q是正确的……………………11分综上，使PQ为真命题时，实数m的取值范围为(-,-1)6,……13分19．（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又OP＝1010tan，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04………………………4分②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OAOB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx………………8分（Ⅱ）选择函数模型①，'2210coscos2010sin102sin1coscossiny令'y0得sin12，因为04，所以=6，当0,6时，'0y，y是的减函数；当,64时，'0y，y是的增函数，所以当=6时，min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处。…………………………………13分21.又0,2x2sinxx成立．故存在最小的正整数2k，使()fx是为[0,]2上的“２阶收缩函数”．………6分（2）2()3632gxxxxx,令'()0gx得0x或2x.函数gx,'()gx的变化情况如下：x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)y’-0+0-y减极小增极大减……………………7分ⅰ）2b时，()gx在[0,]b上单调递增，因此，322()3gxgxxx，1()00gxg.因为32()3gxxx是[0,]b上的2阶收缩函数，所以，①21()20gxgxx对[0,]xb恒成立；②存在0,xb，使得21()0gxgxx成立.…………8分①即：3232xxx对[0,]xb恒成立，由3232xxx，解得：01x或2x，要使3232xxx对[0,]xb恒成立，需且只需01b.……………10分综合ⅰ）ⅱ）可得：3512b.……………14分注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用32只是因为简单而已.