广东金山中学2012届高三第一学期期中考试（文数）

1金山中学2012届高三第一学期期中考试文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合)4lg(2xyxA，1yyB，则AB（）A．{21}xxB．{12}xxC．{2}xxD．{212}xxx或2．下列函数中既是奇函数，又在区间),0(上单调递增的是（）A．xysinB．2xyC．2lgxyD．3xy3.“0a”是“函数ln||yxa为偶函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件4．下列结论错误的．．．是（）A．命题“若p，则q”与命题“若,q则p”互为逆否命题；B．命题:[0,1],1xpxe，命题2:,10,qxRxx则pq为真；C．“若22,ambm则ab”的逆命题为真命题；D．若qp为假命题，则p、q均为假命题．5．已知点)43cos,43(sinP落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为()A．4B.43C.45D.476．函数)sin()(xAxf)2||,0,0(A的部分图象如图所示，则ω,ψ的值分别为()A．2，0B．2，4C．2，3D．2，67．已知函数f(x)是（-∞,+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2）时，f(x)=log2(x+1)，则f(-201O)+f(2011)的值为()A．-2B．-1C．1D．28.O是ABC所在的平面内的一点，且满足（OB－OC）·（OB+OC－2OA）=0，则ABC的形状一定为（）A．正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.斜三角形9．如图所示，,,ABC是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D,若OCxOAyOB，则（）2A．01xyB．1xyC．1xyD．10xy10．()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时2()fxx，若对任意的[22,22]x不等式()2()fxtfx恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2,)B．(,2]C．[432,)D．(2,][432,)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知4cos()25，则cos2．12．在平面上给定非零向量12,ee满足12||3,||2ee，12,ee的夹角为60，则12|23|ee的值为．13．规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即ba*=baab,ba,是正实数，已知1k=3,则函数xkxf)(的值域是．14．若函数32()22fxxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：2)1(f625.0)5.1(f984.0)25.1(f260.0)375.1(f162.0)4375.1(f054.0)40625.1(f那么方程32220xxx的一个近似根（精确到1.0）为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15．（本小题满分12分）已知函数235cos35cossin5)(.2xxxxf.(1)确定函数f(x)的单调增区间；(2)将函数y=f(x)的图象向左平移)20(个单位长度，所得图象关于y轴对称，求φ的值。16．（本小题满分12分）已知113(,sincos)222axx，(1,)by，且a//b．设函数()yfx．（1）求函数()yfx的解析式；（2）若在锐角ABC中，()33fA，边3BC，求ABC周长的最大值．317.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量)2,1(a，又点(8,0),(,),(sin,)(0)2ABntCkt．（1）若aAB，且||5||ABOA，求向量OB；（2）若向量AC与向量a共线，当k4时，且sint取最大值为4时，求OCOA．18.（本小题满分14分）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC与两腰长的和．．．．．．）为y（米）.⑴求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.19．（本小题满分14分）已知函数321()(21)3(2)13fxxaxaax，aR．（1）当0a时，求曲线()yfx在点（3,(3)f）处的切线方程；（2）当函数'()yfx在0,4（）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．20.（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，n∈N*，其导函数记为)(/xfn，且满足)]([121/2xxaxf121222)()(xxxfxf，a，x1，x2为常数,x1≠x2．(1)试求a的值；(2)记函数)()(1xfbxF)(lnf3x，x∈（0，e]，若F(x)的最小值为6，求实数b的值；(3)对于(2)中的b，设函数xbxg)3()(，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是函数g(x)图象上两点，若12120)('xxyyxg，试判断x0，x1，x2的大小，并加以证明．4参考答案一、选择题：BCACDDCCCB二、填空题：11．257；12.6；13.(1,+∞);14.1.4;三、解答题：15．解：xxf2sin25)()2cos1(235xx2sin25235x2cos235)2cos232sin21(5xx)32sin(5x．………4分(1)3222xk22kxk12125k，所以f(x)的单调增区间为]125,12[kk,(k∈Z)..............8分(2)将函数y=f(x)的图象向左平移)20(个单位长度，得)322sin(5xy的图象，其图象对称轴方程为：322x)(2Zkk，……10分1252k，由20得125．……12分16．解：(1)因为a//b，所以113sincos222yxx，………2分所以()2sin()3fxx………4分(2)∵()2sin()2sin3333fAAA，∴3sin2A．∵(0,)2A，∴3A．………6分又3BC，由正弦定理知，2sinBCRA得322sin3R，∴2sinACB，2sinABC，∴ABC的周长为232sin2sin32sin2sin()3BCBB………8分3132sin2(cossin)22BBB323sin()6B．………10分5∵022032BB，∴62B，则2363B，所以23sin()16B，∴ABC周长的最大值为33．………12分17．解：（1）∵),8(tnAB，aAB，∴028tn……2分又∵||5||ABOA，∴6455)8(222ttn，得8t……4分(24,8)OB或(8,8)OB……6分(2)(sin8,)ACkt，AC与a向量共线,2sin16tk……8分∵kkkkt32)4(sin2sin)16sin2(sin2∵4k∴041k，∴当k4sin时，sint取最大值为32k，……10分由324k，得8k，此时,(4,8)6OC，……12分∴32)8,4()0,8(OCOA．……14分18．解：⑴193()2ADBCh，其中22xADBCBCx，32hx，∴1393(2)22BCxx，得182xBCx，由3321802hxxBCx，得26x∴1832,(26)2xyBCxxx；………6分⑵18310.52xyx得34x∵[3,4][2,6)∴腰长x的范围是[3,4]………10分⑶18318326322xxyxx，当并且仅当1832xx，即23[2,6)x时等号成立，∴外周长的最小值为63米，此时腰长为23米．………14分19．解：(1)当a=0时，131)(23xxxf，6∴f(3)=1，∵f'(x)=x2-2x………3分曲线在点(3，1)处的切线的斜率k=f'(3)=3………4分∴所求的切线方程为y-1=3(x-3)，即y=3x-8………6分(2)∵f'(x)=x2-2(2a+1)x+3a(a+2)=(x-3a)(x-a-2)∴x1=3a，x2=a+2①当x1=x2时，3a=a+2，解得a=1，这时x1=x2=3，函数y=f'(x)在(0，4)上有唯一的零点，故a=1为所求；………7分②当x1x2时，即123aaa，这时x1x23，又函数y=f'(x)在(0，4)上有唯一的零点，23443,4234,4312aaaxx..........10分③当x1x2时，即a1，这时x1x23又函数y=f'(x)在（0，4）上有唯一的零点，∴120,30,2003.023.xaaxa………13分综上得当函数'()yfx在(0,4)上有唯一的零点时，20a或423a或1a.………14分20．解：（1）22()fxx，xxf2)(2，………1分依题意，2221121212[()]xxxaxxxx，得，12a．………3分（2）()3ln,Fxbxx3'()Fxbx,(0,]xe，………4分①若3be，3'()0Fxax，()Fx在(0,]e上单调递减，()Fx的最小值是()Fe，由()6Fe得，9be（舍去）；………6分②若3be，3'()()bFxxxb，令'()0Fx得3xb，当3(0,)xb时,'()0Fx,()Fx在3(0,)b上单调递减;当3(,]xeb时,'()0Fx,()Fx在3(,]eb上单调递增;所以()Fx的最小值是3()Fb，由3()6Fb得，3be．………8分（3）()xgxe，结合图象猜测102xxx．………9分只需证012xxxeee，∵2102102121'()xxxyyeegxexxxx，7故只需证211221xxxxeeeexx，即证：11221()0xxxeexxe，且22121()0xxxeexxe，………10分设22()()xxxhxeexxe，2'()()xhxexx，当2xx时，'()0hx，∴()hx在2,x上是增函数，12xx，∴12()()hxhx，而0)(2xh即11221()0xxxeexxe，………12分设11()()xxxxeexxe，则1'()()xxexx，当1xx时，'()0x，∴()x在1,x上是减函数，12xx，∴12()()xx，而0)(1x即22121()0xxxeexxe．综上所述，102xxx．………14分