崇雅中学文科数学试题

1崇雅中学2010届文科数学试题一选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“爱”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A我B们C必D赢2、2(sincos)1yxx是()A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数3、若函数)(),(xgxf的定义域都是R，则)()(xgxf，x∈R的充要条件是（）A.有一个x∈R,使)()(xgxfB.有无数多个x∈R,使)()(xgxfC.对任意的x∈R,使1)()(xgxfD.不存在x∈R使)()(xgxf4、若复数22izxyii，x，yR，则yx()A.43B.34C.34D.435、已知椭圆12222byax)0(ba，直线bkxy2与椭圆交于不同的两点A、B，设AOBSkf)(，则函数)(kf为（）A奇函数B偶函数C既不是奇函数又不是偶函数D无法判断6、在等差数列中，若是a2+4a7+a12=96，则2a3+a15等于A.96B.48C.24D.127、在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是A．13B．12C．23D．348、某公司租地建仓库，每月士地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A5公里处B4公里处C3公里处D2公里处我们爱拼必赢29、水平地面上A、B两地立有高分别20米和40米的旗杆，地面上P对两旗杆顶端的仰角相等，则P点的轨迹是（）A椭圆B抛物线C圆D双曲线10、.已知函数1()lg()2xfxx有两个零点21,xx，则有A.021xxB.121xxC.1021xxD.121xx二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。（一）必做题（11～13题）11、.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生２０５２５女生１０１５２５合计３０２０５０下面的临界值表供参考：2()pKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828则根据以下参考公式可得随机变量2K的值为、（保留三位小数）有％．的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd)12、在△ABC中，把正弦定理RCcBbAa2sinsinsin代入余弦定理Abccbacos2222得公式：ACBCBAcossinsin2sinsinsin222。利用上述关系式计算：___________35sin10sin235sin10sin22；13、按如图所示的程序框图运算．(1)若输入8x，则输出k；(2)若输出2k，则输入x的取值范围是．开始0k108xx1kk结束输入x是否输出x,k2008x3（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、已知直线L的极坐标方程为：22)4sin(，则极点到直线L的距离为_____________;15、如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C的切线PC与AB延长线交于P，若PC=5，则⊙O的半径为______。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤16、（12分）在第29届奥林匹克运动会上，杜丽、郭文珺、陈颖、庞伟夺得射击金牌，何文娜、陆春龙夺得蹦床金牌，为我国金牌总数第一立下了汗马功劳，崇雅中学高中部某班要从这6名运动员中选出2名青春偶像。（1）求出两名运动员都是射击运动员的概率；（2）求选出的两名运动员一名是射击运动员，另一名是蹦床运动员的概率。17、（12分）已知三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C)sin,(cos（1）1,,4BCACZkk若，求：tan12cos2sin1的值；（2）若),0(13，且OCOA，求OCOB与的夹角。18、（14分）如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC．（1）证明：平面ACD平面ADE；（2）若2AB，1BC，3tan2EAB，试求该简单组合体的体积V．ACBP419、（14分）等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的nN，点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记1()4nnnbnNa求数列{}nb的前n项和nT20、（14分）在实数集R上定义运算：x○×y=x(a－y)(a∈R，a为常数)。若f(x)=ex，g(x)=e-x+2x2，F(x)=f(x)○×g(x)。（Ⅰ）求F(x)的解析式；（Ⅱ）若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=－3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.21、(14分)设椭圆:C1222yax(0a)的两个焦点是)0,(1cF和)0,(2cF(0c)，且椭圆C与圆222cyx有公共点．(1)求a的取值范围；(2)设a取最小值，直线:lmkxy(0k)与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN的垂直平分线恒过点)1,0(A，求实数m的取值范围5参考答案：一选择题题号01020304050607080910答案DDDABBCACC二填空题11、8.333、99.512、2113、3；2002.19x14、2215、335三解答题16、①52②15817、①95②618、解：（１）证明：∵DC平面ABC,BC平面ABC∴DCBC．----------------2分∵AB是圆O的直径∴BCAC且DCACC∴BC平面ADC．---------------------------------------------------------------4分∵四边形DCBE为平行四边形∴DE//BC∴DE平面ADC------------------------------------------------------------------6分又∵DE平面ADE∴平面ACD平面ADE-------------------------7分（2）解法１：所求简单组合体的体积：EABCEADCVVV-----9分∵2AB，1BC，3tan2EBEABAB∴3BE,223ACABBC-------------11分∴111362EADCADCVSDEACDCDE-------12分111362EABCABCVSEBACBCEB---------13分∴该简单几何体的体积1V-------------------------------14分解法２：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8分如图∵2AB，1BC，3tan2EBEABAB∴3BE,223ACABBC-------------10分6∴ACBFDEEADFVVV=13ACBADCSDCSDE-----------------------------12分1126ACCBDCACDCDE=11313331126-----------------------------------------------14分19、解:因为对任意的nN,点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.所以得nnSbr,当1n时,11aSbr,当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,又因为{na}为等比数列,所以1r,公比为b,所以1(1)nnabb（2）当b=2时，11(1)2nnnabb,111114422nnnnnnnba则234123412222nnnT3451212341222222nnnnnT相减,得23451212111112222222nnnnT31211(1)112212212nnn12311422nnn所以113113322222nnnnnnT20、（14分）解：（I）由题意，F(x)=f(x)○×(a－g(x))……………………………………2分=ex(a－e－x－2x2)=aex－1－2x2ex.………………………………4分（II）∵F′(x)=aex－2x2ex－4xex=－ex(2x2+4x－a)，………………6分当x∈R时，F(x)在减函数，∴F′(x)≤0对于x∈R恒成立，即－ex(2x2+4x－a)≤0恒成立，…………………………………8分∵ex0，∴2x2+4x－a≥0恒成立，∴△=16－8(－a)≤0，∴a≤－2.……………………………………………………10分（III）当a=－3时，F(x)=－3ex－1－2x2ex，设P(x1，y1)，Q（x2，y2）是F(x)曲线上的任意两点，∵F′(x)=－ex(2x2+4x+3)7=－ex[2(x+1)2+1]0，……………………………………12分∴F′(x1)·F′(x2)0，∴F′(x1)·F′(x2)=－1不成立.………………………………13分∴F(x)的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.…………14分21、（14分）：(1)椭圆C与圆222cyx有公共点的的充要条件是点)1,0(在圆222cyx上或内且1a，即11)1(02222aac，也即2a故a的取值范围是),2[…………5分另解：由已知，1a，∴方程组2222221cyxyax有实数解，从而0111222cxa，故12c，所以22a，即a的取值范围是),2[…………5分(2)a的最小值是2，此时椭圆C的方程为1222yx，由2222yxmkxy得0)1(24)12(222mmkxxk(*)∵直线l与椭圆交于不同两点，∴228(21)0km，即1222km．①…设),(11yxM、),(22yxN，则1x、2x是方程(*)的两个实数解，∴124221kmkxx，∴线段MN的中点为12,12222kmkmkQ，又∵线段MN的垂直平分线恒过点)1,0(A，∴MNAQ，即kmkkm12122，即1222km②…由①，②得mm22，20m，又由②得21m，∴实数m的取值范围是2,21．…………14分1,3,5