广东省执信中学2012届高三上学期期中考试数学（理）试题

第1页共10页执信中学2011-2012学年度第一学期高三级数学理科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数20112i=（）A．2iB．1C．2iD．32、设集合23,logPa，Q,ab，若Q=0P，则Q=P（）A．3,0B．3,0,1C．3,0,2D．3,0,1,23、与函数lg(1)10xy的图象相同的函数是（）A．21()1xyxB．1yxC．1yxD．211xyx4、设等差数列na的前n项和为nS,若111a,376aa,则当nS取最小值时,n等于（）[来源:Zxxk.Com]A．9B．8C．7D．65、设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是（）A．若//,cb，则//bcB．若,//bbc，则//cC．若//,c，则cD．若//,cc，则6、已知:230pxx，:3qx，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7、若sincostan(0)2，则（）第2页共10页A．(0,)6B．(,)64C．(,)43D．(,)328、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．24B．30C．36D．42第二部分非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。(一）必做题（9-13题）9、如果1cos()2A，那么sin()2A．10、垂直于直线2610xy且与曲线3231yxx相切的直线方程是．11、规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即ababab，则函数()1fxx的值域是．12、如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该三视图中侧视图的面积为．13、观察下列等式:212(1)1xxxx,22234(1)1232xxxxxx,2323456(1)136763xxxxxxxx,242345678(1)1410161916104xxxxxxxxxx,由以上等式推测:对于nN,若2220122(1)nnnxxaaxaxax,则2a.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14、将参数方程12cos,2sin,xy（为参数,],0[）化成普通方程为______．15、如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，27,3CDABBC，则AC的长为．正视图侧视图俯视图ODCBA第3页共10页三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量1(sin,)2mA与(3,sin3cos)nAA共线，其中A是ABC的内角。（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求ABC面积S的最大值．17．（本小题满分12分）2010年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：甲系列：动作KD得分10080[来源:Z_xx_k.Com]4010概率34143414乙系列：动作KD得分9050200概率910110910110现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；（2）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX．18．（本小题满分14分）如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，60,90,AC2CD．把ABD沿BD折起（如图二），使二面角CBDA的余弦值等于33．对于图二，完成以下各小题：[来源:学§科§网Z§X§X§K]（1）求,AC两点间的距离；（2）证明：AC平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．CBDA图1BCDA图2第4页共10页19．（本小题满分14分）已知函数(afxxaxR),lngxx（1）求函数Fxfxgx的单调区间；（2）若关于x的方程[2]gxxfxex(e为自然对数的底数)只有一个实数根，求a的值．20．（本小题满分14分）已知直线10xy经过椭圆S：22221(0)xyabab的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意0k，求证：PAPB．21．（本小题满分14分）设数列{}na满足：11a，*11(14124)()16nnnaaanN（1）求2a，3a；（Ⅱ）令124nnba，求数列{}nb的通项公式；（2）已知1()63nnfnaa，求证：1(1)(2)()2fffn．PABCxyOMN第5页共10页执信中学2011-2012学年度第一学期高三级数学理科期中试题答案一、CBADDACC二、9、12；10、320xy；11、(1,)；12、32；13、(1)2nn14、2214(0)xyy；15、372三、解答题：16、（本题满分12分）解：17、（本题满分12分）（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．……1分理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名．……2分记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”为事件B，则P（A）＝34，P（B）＝34．…………4分记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得P（C）＝P（AB）＋()PAB＝33134444×＋×＝34．该运动员获得第一名的概率为34．…………6分（II）若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50，70，90，110，…………7分则P（X＝50）＝111010×＝1100，第6页共10页P（X＝70）＝191010×＝9100，P（X＝90）＝911010×＝9100，P（X＝110）＝991010×＝81100．…………9分X的分布列为：X507090110P11009100910081100∴EX＝50×1100＋70×9100＋90×9100＋110×81100＝104．……12分18、解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接CEAE,，由CDCBADAB,，得：BDCEBDAE,AEC就是二面角CBDA的平面角，33cosAEC…………………………2分在ACE中，2,6CEAEAECCEAECEAEACcos2222433262262AC…………………………4分（Ⅱ）由22BDADAC，2CDBCAC,222ABBCAC,222ADCDAC90ACDACB…………………………6分,ACBCACCD，又CCDBCAC平面BCD．…………………………8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知BD平面ACEBD平面ABD∴平面ACE平面ABD…………………………10分平面ACE平面AEABD，第7页共10页作CFAE交AE于F，则CF平面ABD，CAF就是AC与平面ABD所成的角，…………………………12分3sinsin3CECAFCAEAE．…………………………14分方法二：设点C到平面ABD的距离为h，∵BCDAABDCVV…………………………10分11112222sin602223232h233h…………………………12分于是AC与平面ABD所成角的正弦为33sinACh．…………………………14分[来源:Z.xx.k.Com]方法三：以CACDCB,,所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系xyzC，则)0,2,0()0,0,0(),0,0,2(),2,0,0(DCBA．………10分设平面ABD的法向量为n),,(zyx，则n0AB，n0AD，022,022zyzx取1zyx，则n)1,1,1(，----------12分于是AC与平面ABD所成角的正弦即3323|200|||||||sinCAnCAn．…………………………14分19、解:函数lnaFxfxgxxxx的定义域为0,.∴'211aFxxx22xxax.CBDAEyFzx第8页共10页①当140a,即14a时,得20xxa,则'0Fx.∴函数Fx在0,上单调递增.……2分②当140a,即14a时,令'0,Fx得20xxa,解得121141140,22aaxx.(ⅰ)若104a,则211402ax.∵0,x,∴'0Fx,∴函数Fx在0,上单调递增.……4分(ⅱ)若0a,则1140,2ax时,'0Fx;114,2ax时,'0Fx,∴函数Fx在区间1140,2a上单调递减,在区间114,2a上单调递增.……6分综上所述,当0a时,函数Fx的单调递增区间为0,;当0a时,函数Fx的单调递减区间为1140,2a,单调递增区间为114,2a.……8分(2)解:令lnxhxx,则'21lnxhxx.令'0hx,得xe.当0xe时,'0hx;当xe时,'0hx.∴函数hx在区间0,e上单调递增,在区间,e上单调递减.∴当xe时,函数hx取得最大值,其值为1hee.……10分第9页共10页而函数2222mxxexaxeae,当xe时,函数mx取得最小值,其值为2meae.……12分[来源:Z#xx#k.Com]∴当21aee,即21aee时,方程22gxfxex只有一个根.…14分20、解：（1）在直线10xy中令0x得1y；令0y得1x1cb