惠州市2011届高三第一次调研考试（理科）

数学试题（理科）第1页共9页惠州市2011届高三第一次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数31()ii等于()A．8B．－8C．8iD．－8i2．定义集合运算：|,,ABzzxyxAyB．设1,2,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为（）A．0B．2C．3D．63．已知{}na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前10项和10S等于（）A．64B．100C．110D．1204．在二项式251()xx的展开式中，含4x的项的系数是().A．10B．10C．5D．55．为得到函数πcos23yx的图象，只需将函数sin2yx的图象（）A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位6．设ab,函数2()()yaxxb的图象可能是（）7．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.34xyOabxyOabxyOabxyOabABCD数学试题（理科）第2页共9页8．已知abadbccd,则46121420042006810161820082010()A．－2008B．2008C．2010D．－2010二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１３题）9．设向量(12)(23)，，，ab，若向量ab与向量(47)，c共线，则．10．设曲线axye在点(01)，处的切线与直线210xy垂直，则a．11．若实数,xy满足2045xyxy，则zyx的最小值为_____．12．执行下边的程序框图，若0.8p，则输出的n．13．某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题得分）14.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为2cos，则该圆的圆心到直线sin2cos1的距离是.15．（几何证明选讲选做题）如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，45BNA，若⊙O的半径为23，OA=3OM，则MN的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。（★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．）16．（本小题满分12分）已知函数22()sin2sincos3cosfxxxxxx，R，求：（1）函数()fx的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（2）函数()fx的单调增区间．开始10nS，Sp?是输入p结束输出n12nSS否1nn（第12题图）（第13题图）BCAOMN（第15题图）数学试题（理科）第3页共9页17．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:周销售量234频数205030（1）根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．（1）求证：AB平面PCB；（2）求二面角C－PA－B的大小的余弦值．ABCDP（第18题图）数学试题（理科）第4页共9页19．（本小题满分14分）设函数2()2ln11fxxx．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若关于x的方程230fxxxa在区间2,4内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．20．（本小题满分14分）已知直线220xy经过椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线,ASBS与直线10:3lx分别交于,MN两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值．21．(本小题满分14分)已知函数2()4fxx，设曲线()yfx在点,())nnxfx（处的切线与x轴的交点为*1(,0)()nxnN．（1）用nx表示1nx；（2）若14x，记2lg2nnnxax，证明：数列na是等比数列，并求数列nx的通项公式．（3）若14x，2nnbx，nT是数列nb的前n项和，证明：3nT．数学试题（理科）第5页共9页惠州市2011届高三第一次调研考试数学试题(理科）参考答案一、选择题题号12345678答案DDBBABCA1、【解析】由33412()()88iiiiii,易知D正确.2、【解析】因*{0,2,4}AB，所以易知选D.3、【解析】设公差为d，则有112421328adad1101109101210022aSd4、【解析】对于251031551()()1rrrrrrrTCxCxx，对于1034,2rr，则4x的项的系数是225(1)10C5、【解析】55cos2sin2sin2,3612yxxx只需将函数sin2yx的图象向左平移5π12个单位得到函数πcos23yx的图象。6、【解析】可得22()()()()yaxxbxaxb,ab是函数的两个零点当xa时，则()0fx；当axb时,则()0,fx当xb时，则()0,fx故选B。7、【解析】要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率11222442.63CCPC8、【解析】8482(84)(82)(82)(8)8882nnnnnnnn数列共有251项，结果为(8)2512008，故选A.二、填空题：9、210、211、－612、413、8014、5515、29、【解析】ab＝(2,23)，则ab与(47)，c共线24223710、【解析】'axyae，∴切线的斜率0'xkya，∴由1()12a得2a11、【解析】画出可行域知，当4,2xy时，246zyx为最小值.12、【解析】1110.8248，因此输出4.n13、【解析】结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥的的底面是边长为8和6的长方形，棱锥的高是5，∴由棱锥的体积公式得1865803V14、【解析】直线sin2cos1化为直角坐标方程是210xy；圆2cos的圆心1,0到直线210xy的距离是55数学试题（理科）第6页共9页15、【解析】∵45BNA，∴90BOA，∵2OM,23BO，∴4BM，∵2322328BMMNCMMA，∴2MN．三、解答题16、解：（1）解法一：1cos23(1cos2)sin222xxfxx2sin2cos2xx22sin(2)4x……………4分当2242xk，即()8xkkZ时，fx取得最大值22.因此，fx取得最大值的自变量x的集合是,8xxkkZ.……8分解法二：222()(sincos)sin22cosfxxxxx1sin21cos2xx22sin(2)4x…………4分当2242xk，即()8xkkZ时，fx取得最大值22.因此，fx取得最大值的自变量x的集合是,8xxkkZ……8分（2）解：22sin(2)4fxx由题意得222()242kxkkZ，即3()88kxkkZ.因此，fx的单调增区间是3,88kkkZ.…………12分17、解：（1）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3····················3分（2）该商品两周可能销售4、5、6、7、8吨，所以的可能值为8、10、12、14、16，且P（=8）=0.22=0.04，P（=10）=2×0.2×0.5=0.2，P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（=14）=2×0.5×0.3=0.3，P（=16）=0.32=0.09．的分布列为810121416P0.040.20.370.30.09··········9分E=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）····························12分18、解：（1）∵PC平面ABC，AB平面ABC，∴PCAB．…………………2分∵CD平面PAB，AB平面PAB，∴CDAB．…………………………4分数学试题（理科）第7页共9页ABCDPEF又PCCDC，∴AB平面PCB．…………………………6分（2）取AP的中点E，连结CE、DE．∵PC=AC=2，∴CEPA，CE=2．………8分∵CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA．∴CED为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………10分由（1）AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=2．在RtPCB中，PB=22PCBC6，PCBC222CDPB63．………………12分在RtCDE中，cosCED=42DE33CE32．…13分∴二面角C-PA-B大小的余弦值为33……………………………14分19、解：（1）函数fx的定义域为1,，……………………………………………1分∵221()2111xxfxxxx，………………………………………2分∵1x，则使()0fx的x的取值范围为1,2，故函数fx的单调递增区间为1,2．……………………………………………4分（2）方法1：∵2()2ln11fxxx，∴2()3012ln10fxxxaxax．…………………………6分令12ln1gxxax，∵23()111xgxxx，且1x，由()03()03gxxgxx得，得1．∴()gx在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，……………………9分故2()30fxxxa在区间2,4内恰有两个相异实根(2)0,(3)0,(4)0.ggg