江苏省东海高级中学2010届高三第一学期期中试题

江苏省东海高级中学2010届高三数学第一学期期中试题命题时间：2009年10月25日命题人：唐春兵一、填空题（每小题5分，共70分）1、若集合}1log|{},2|{25.0xyyNyyMx,则NM等于▲.2、已知01a，则三个数331,,3aaa由小到大的顺序是▲.3、)(xf＝21(0)2(0)xxxx，若)(xf10，则x▲.4、已知向量2,1,3,0ab，若2abb，则=▲.5、在ABC中，角A、B、C所对的边分别是,,abc。若222,bcbca且3,ab则角C=▲.6、已知数列na为等差数列，且17134aaa，则212tan()aa▲.7、定义在)()()()(),0(xyfyfxfxf满足的函数，且0)(1xfx时，若不等式)()()(22afxyfyxf对任意),0(,yx恒成立，则实数a的取值范围▲.8、已知命题：“[1,2]x，使022axx”为真命题，则a的取值范围是▲.9、设nS表示等比数列}{na（*Nn）的前n项和，已知3510SS，则515SS▲.10、若函数bbxxxf36)(3在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是▲.11、三个同学对问题“关于x的不等式232164xxxax在1,8上恒成立，求实数a的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是▲.12、已知函数56(4)462xaxfxaxx,数列na满足Nnnfan，且数列na是单调递增数列，则实数a的取值范围是▲.13、在平面直角坐标系中，已知)0,1(),0,(),1,4(),3,1(aNaPBA，若四边形PABN的周长最小，则a=▲．科14、已知定义在R上的函数)3()(2axxxf，若函数]2,0[),()()(xxfxfxg，在x=0处取得最大值，则正数a的范围▲.二、解答题15、（14分）已知向量(sin,3)a,(1,cos)b,(,)22.（1）若ab,求；（2）求||ab的最大值.16.（14分）已知函数)()14(log)(4Rkkxxfx是偶函数。（1）求k的值；（2）若方程mmxf求有解,0)(的取值范围。17、（14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点A相距1013海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.18、（16分）设定义在12[,]xx上的函数()yfx的图象为C，C的端点为点A、B，M是C上的任意一点，向量11OA(,)xy，22OB(,)xy，OM(,)xy，若12(1)xxx，记向量ONOA(1)OB.现在定义“函数()yfx在12[,]xx上可在标准k下线性近似”是指|MN|k恒成立，其中k是一个人为确定的正数．（1）证明：01；（2）请你给出一个标准k的范围，使得[0，1]上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似.19、（16分）已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1qaan，设*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足}{。（1）求证：}{nb是等差数列；（2）求数列}{nc的前n项和Sn；（3）若对1412mmcn一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.20、（16分）已知函数21()22fxxx，()logagxx。如果函数()()()hxfxgx没有极值点，且/()hx存在零点．（1）求a的值；（2）判断方程()2()fxgx根的个数并说明理由；（3）设点1122(,),(,)AxyBxy12()xx是函数()ygx图象上的两点，平行于AB的切线以00(,)Pxy为切点，求证：102xxx．答案一、填空题1、}|{Ryy；2、aaa3331；3、3；4、3；5、90；6、3；7、20，；8、8a；9、7；10、21.0；11、,8；12、4,8；13、25a；14、6(0,]5.二、解答题15、解：（1）因为ab,所以sin3cos0,得tan3（用辅助角得到0)3sin(同样给分）又(,)22,所以=3……………（7分）（2）因为222||(sin1)(cos3)ab=54sin()3所以当=6时,2||ab的最大值为5＋4=9故||ab的最大值为3………（14分）16、解：（1）由函数).()(,)(xfxfxf可知是偶函数.)14(log)14(log44kxkxxx,24log,21414log44kxkxxxx即.2恒成立对一切Rxkxx21k.………………………………………（7分）（2）由xxfmx21)14(log)(4，).212(log214log44xxxxm2212xx，.21m故要使方程.21,0)(mmmxf的取值范围为有解……………（14分）17、解（I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC由于090,所以cos=2265261().2626由余弦定理得BC=.510cos222ACABACAB所以船的行驶速度为10515523（海里/小时）.…（6分）（2）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=22AB=40,x2=ACcos1013cos(45)30CAD,y2=ACsin1013sin(45)20.CAD所以过点B、C的直线l的斜率k=20210,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=|05540|357.14所以船会进入警戒水域.…………………………………（14分）解法二如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，222cos2ABBCACABCABBC=22240210510132402105=31010.从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中，由正弦定理得，AQ=10402sin1040.sin(45)2210210ABABCABC由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中，PE=QE·sinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC=515357.5所以船会进入警戒水域.18、解：（1）由题意，x1≤x≤x2，即x1≤x1+（1－）x2≤x2，∴x1－x2≤（x1－x2）≤0．∵x1－x20，∴0≤≤1．………………………………………（4分）（2）由ON=OA+（1－）OB，得BN=BA．所以B、N、A三点在一条直线上．又由（1）的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同．对于[0，1]上的函数y=x2，A（0，0），B（1，1），则有|MN|=x－x2=211()42x，故1|MN|[0,]4．对于[0，1]上的函数y=x3，则有|MN|=x－x3=g（x）．在（0，1）上，g′（x）=1－3x2，可知在（0，1）上y=g（x）只有一个极大值点x=33，所以函数y=g（x）在（0，33）上是增函数;在（33，1）上是减函数．又g（33）=239，故|MN|[0，239]．经过比较，14239，所以取k[14，239），则有函数y=x2在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数y=x3在[0，1]上不可在标准k下线性近似．………………………………………（16分）19、解：（1）由题意知，*)()41(Nnann12log3,2log3141141ababnn3log3log3log3log341141411411qaaaabbnnnnnn∴数列3,1}{1dbbn公差是首项的等差数列.………………………………（5分）（2）由（1）知，*)(23,)41(Nnnbannn*)(,)41()23(Nnncnn,)41()23()41)53()41(7)41(4411132nnnnnS于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141nnnnnS两式相减得132)41()23(])41()41()41[(34143nnnnS.)41()23(211nn*)()41(3812321NnnSnn.……………………（11分）（3）nnnnnncc)41()23()41()13(11*)(,)41()1(91Nnnn∴当n=1时，4112cc当nnncccccccn43211,,2即时∴当n=1时，nc取最大值是41又恒成立对一切正整数nmmcn1412411412mm即510542mmmm或得.………………………………………（16分）20、解：（1）依题意21()2log2ahxxxx，2,1ln2ln1()2lnlnxaxahxxxaxa()hx无极值，,()hx存在零点2ln2ln100xaxa的，即0ln4ln42aa，解得（舍）或1ea，所以，所求的a的值为e．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分（2）方程0ln2221ln2221222xxxxxxxgxf，设2122ln2yxxx（x0)，由,yo得1212(x或舍），0,,21,0,21,0xfxxfx即函数xxxxln2221)(2在)21,0(上单调减，在),21(上单调增，且当0x时，xxxxln2221)(2，由于看不出当x时，xxxxln2221)(2，只有通过特殊值来估：当2ex，0)4(21ln2221)(222242eeeeee，)21ln()223(21)21ln(2)21(2)21(212miny，实际上，1)12(2与1)12ln(2则22)12ln()12(，即：)21ln()223(21，则0)21ln()223(21则方程()2()fxgx有两个不相等的实数根。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分方法二：直接看图：利用函数22212xxy和函数xyln的图象来看。（3）由已知：120121yyxxx，所以12012xxxyy12211210111221()xxxxxyyxxxyyyy