参考答案

数学必做题参考答案1．[0，2]2．sin3．244．25．π166．47．x∈R，x2－x＋1≤08．a≤09．2010．1211．(1，10)12．(2)(4)13．y＝sin(12x＋5π12)14．①②④15．解：（1）因为mn，所以m·n＝0即cosA＋1－3sinA＝0．……2分所以3sinA－cosA＝1，即sin(A－π6)＝12．……5分有因为0＜A＜π，所以－π6＜A－π6＜5π6，所以A－π6＝π6即A＝π3．……7分（2）因为b＋c＝3a，由正弦定理得sinB＋sinC＝3sinA＝32．……9分因为B＋C＝2π3，所以sinB＋sin(2π3－B)＝32．……11分化简得32sinB＋32cosB＝32，即sin(B＋π6)＝32．……14分16．证明：（1）设N是OA的中点，连接MN，NB，因为M是OD的中点，所以MN//AD，且2MN=AD，又AD//BC，AD=2BC，所以MNBC是平行四边形，所以MC//NB，又MC平面OAB，NB平面OAB，所以直线MC//平面OAB；………………………………（7分）（2）设H是BD的中点，连接AH，因为AB=AD，所以AHBD，又因为OB=OD，所以OHBD所以BD面OAH所以BDOA．……………………………………（14分）17．14．设BC＝x米（x＞1），AC＝y米，则AB＝y－12．……2分在△ABC中，由余弦定理，得(y－12)2＝y2＋x2－2xycos60．……4分所以y＝x2－14x－1（x＞1）．……7分法一：y＝x2－14x－1＝(x－1)＋34(x－1)＋2≥2＋3．当且仅当x－1＝34(x－1)，即x＝1＋32时，y有最小值2＋3．……12分法二：y′＝2x(x－1)－(x2－14)(x－1)2＝x2－2x＋14(x－1)2．由y′＝0得x＝1＋32．因为当1＜x＜1＋32时，y′＜0；当x＞1＋32时，y′＞0，所以当x＝1＋32时，y有最小值2＋3．……12分答：AC的最短长度为2＋3米，此时BC的长度为（1＋32）米．……14分18．解：（1）依题意，可设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，……1分且a、b满足方程组3330,22311.3abba……3分由此解得a＝b＝0．……5分又因为点P（1，1）在圆C上，所以222221110102rab．……6分故圆C的方程为x2＋y2＝2．……7分（2）由题意可知，直线PA和直线PB的斜率存在且互为相反数，故可设PA所在的直线方程为1(1)ykx，PB所在的直线方程为1(1)ykx．由221(1),2ykxxy消去y，并整理得：222(1)2(1)(1)20kxkkxk．①设11,Axy，又已知P(1,1)，则1x、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得212211kkxk．同理，若设点B22(,)xy，则可得222211kkxk．于是12121212(1)(1)AByykxkxkxxxx＝1212()2kxxkxx=1．而直线OP的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP与AB平行．19．解：（Ⅰ）221a，23123313daS，2d………………2分所以22nan，nnSn)12(2…………………………………5分（Ⅱ）由题意，nbn2，首项21b，又数列,...,...,,21kbbb的公比313bbq…7分132kkb，又kkb2，13kk………………10分（Ⅲ）易知12ncn，假设存在三项tsrccc,,成等比数列，则trsccc2，即)]12()][12([)]12([2trs,整理得sstrrttrs22)2(2…12分①当02trs时，trssstrrt2222，*,,Ntsr，trssstrrt222是有理数，这与2为无理数矛盾…………………14分②当02trs时,则022sstrrt,从而220srtsrt,解得rt,这与tr矛盾.综上所述，不存在满足题意的三项tsrccc,,……………………………16分20．（1）1,()1lnafxxx111,()1ln,()10.xxfxxxfxxx当时()1,.fx在区间上是递增的……………2分101,()1ln,()10xfxxxfxx当()(0,1).fx在区间上是递减的故a=1时，()fx的增区间为[1,)，减区间为（0，1），min()(1)0.fxf………4分（2）若111,()ln,()10.xaxafxxaxfxxx当时，则()fx在区间[,]a上是递增的；当10,()ln,()10xafxaxxfxx时()fx在区间(0,)a上是递减的．………6分若01,,()ln,axafxxax当时11()1,1,()0,1,()0xfxxfxaxfxxx则()fx在区间[1,)上是递增的，()fx在区间[,1)a上是递减的；当10,()ln,()10,xafxaxxfxx时()fx在区间（0，a）上是递减的，而()fx在xa处连续；则()fx在区间[1,)上是递增的，在区间（0，1）上是递减的综上：当1,()afx时的递增区间是[,)a，递减区间是（0，a）；当01a时，()fx的递增区间是[1,)，递减区间是（0，1）…………11分（3）由（1）可知，当1a，1x时，有1ln0xx，即ln11xxx222222ln2ln3ln23nn22211111123n2221111()23nn……13分1111111()23341nnn11(1)(21)1()212(1)nnnnn…………………16分数学附加题参考答案A．【证明】因为PA与圆相切于A，所以2DADBDC，………………………2分因为D为PA中点，所以DP=DA，所以DP2=DB·DC，即PDDBDCPD．………………………5分因为BDPPDC，所以BDP∽PDC，…………8分所以DPBDCP．…………………10分B．设(,)Pxy为曲线2221xy上任意一点，'''(,)Pxy为曲线22421xxyy上与P对应的点，则''11axxbyy，即''''xxayybxy……………………6分代入的''2''2()2()1xaybxy得2222122421bxabxyay，及方程22421xxyy，从而2212124422baba，解得2,0ab，…………………10分C．解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）cosx，siny，由4cos得24cos．所以224xyx．即2240xyx为圆1O的直角坐标方程．……………………………………3分同理220xyy为圆2O的直角坐标方程．……………………………………6分（2）由2222400xyxxyy相减得过交点的直线的直角坐标方程为40xy．…………………………10分D．证明：（Ⅰ）因为,0mn，利用柯西不等式，得222()()()abmnabmn≥，所以222()ababmnmn≥．………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），函数2222923(23)25122122(12)yxxxxxx≥，所以函数291((0,))122yxxx的最小值为25，当且仅当15x时取得．……10分22.解：以A为坐标原点,AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0,0,0），B（0,2,0），C（1,1,0），D（1,0,0），P（0,0,1），M（0,1,12）……2分（Ⅰ）因AC=（1,1,0），PB=（0,2,－1），故|AC|=2,|PB|=5,ACPB=2,所以10cos,5||||ACPBACPBACPB,即AC与PB所成的角的余弦值为105…6分（Ⅱ）由AM=（0,1,12），MC=（1,0,12），BC=（1,－1,0）,设平面AMC与面BMC的法向量分别为1n=（x,y,z），2n=（p,q,v），则1n·AM=1n·MC=0,解得1n=（1，－1，2），同理2n=（1，1，2），12122cos3||||nnnn…………………………………………………8分由题意可知,二面角的平面角为钝角，所以面AMC与面BMC二面角的余弦值为23…10分23.解:（I）分别记“客人参观甲展览馆”，“客人参观乙展览馆”，“客人参观丙展览馆”为事件A1，A2，A3.由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人参观的展览馆数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有参观的展览馆数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.P（=3）=P（A1·A2·A3）+P（321AAA）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（)()()321APAPA）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（=1）=1－0.24=0.76，所以的概率分布表为………5分∴E=1×0.76+3×0.24=1.48………6分（Ⅱ）因为,491)23()(22xxf所以函数2()31fxxx在区间3[,)2上单调递增，要使),2[)(在xf上单调递增，当且仅当.34,223即13P0.760.24从而4()()(1)0.763PAPP…………………………………10分