江苏省泰州市2011届高三学情调查（三）

江苏省泰州市2011届高三学情调查（三）数学试题一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝__________2．命题“2,10xRx”的否定是3．已知函数f（x）=3ax－2a+1在区间（－1，1）内存在x0；使f（x0）=0，则实数a的取值范围是．4．若函数1(),10()44,01xxxfxx则4(log3)f．5．已知平面向量),2(),3,12(mbma，且a∥b，则实数m的值等于6．等差数列}{na中，10S=120，那么92aa=．7．等差数列{an}中，1490,aSS，则nS取最大值时，n=______．8．已知函数f（x）=|lgx|．若0ab,且f（a）=f（b）,则a+2b的取值范围是_____________．9．已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是______________．10．已知周期函数)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xf的最小正周期为3，,2)1(fmmf则,)2(的取值范围为．11．要使sinα－3cosα=mm464有意义，则应有．12．函数f（x）=2sin（x+4）+2sinxcosx在区间2,4上的最大值是．13．若)(xf是偶函数,且当0)1(,1)(,),0[xfxxfx则时的解集是．14．对正整数n，设曲线)1(xxyn在2x处的切线与y轴交点的纵坐标为na，则数列1nan的前n项和nS．二、解答题15．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）-m=0有解,求m的取值范围．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=32与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间;（2）若对x∈［-1,2］,不等式f（x）c2恒成立,求c的取值范围．17．如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；ABCDEQP18．已知函数3223()39fxxaxaxa．（1）设1a，求函数fx的极值；（2）若14a，且当1,4xa时，)('xf12a恒成立，试确定a的取值范围．。19．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，030x）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？20．（本题满分16分）设函数f（x）＝||2xxaa（其中常数a＞0，且a≠1）．（1）当a＝10时，解关于x的方程f（x）＝m（其中常数m＞22）；（2）若函数f（x）在（－∞，2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题1、｛x|2＜x＜3｝2、　Rx,012x3．a1/5或a-14．35．a=15、或－２236、247、6或78．(3,)9．3[,)410．),2(11、－1≤m≤3712、1213、20x14、.2221)21(21nnnS二．解答题15、解：（1）由函数f（x）=log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．可知f（x）=f（-x）∴log4（4x+1）+kx=log4（4-x+1）-kx………………………………2分即441log241xxkx∴log44x=-2kx………………………………4分∴x=-2kx对x∈R恒成立．………………………………6分∴k=12．………………………………7分（2）解法一:由41()log(41)2xmfxx，∴44411loglog(2).22xxxxm………………………………9分1222xx………………………………11分∴12m………………………………13分故要使方程f（x）-m=0有解,m的取值范围:12m．……………………14分解法二:∵f（x）-m=0有解∴（2x）2-4m2x+1=0有解………………………………8分设2x=t0,则t2-4mt+1=0在t0上有解………………………………9分令g（t）=t2-4mt+1,则g（t）在t0上有交点………………………………10分∵g（0）=10∴2440402mm………………………………12分∴4m2………………………………13分∴要使方程f（x）-m=0有解,m的取值范围:12m……………………14分16．函数f（x）的递增区间是（-∞,-32）与（1,+∞）,递减区间是（-32,1）．解得c-1或c2．17．（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，又BEABEQABCDQE,21是平行四边形∥AQ又BEPADAQ平面∥平面PAD（2）PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA，又CD⊥AD∴CD⊥平面PAD∴AQ⊥CD若PA=AD，∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD∴AQ⊥平面PCD∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD18．解：（1）当a=1时，对函数()fx求导数，得'2()369.fxxx令'12()0,1,3.fxxx解得………………………………3分列表讨论'(),()fxfx的变化情况：x(,1)1（-1，3）3(3,)'()fx+0—0+()fx极大值6极小值-26所以，()fx的极大值是(1)6f，极小值是(3)26.f……………………7分（2）'22()369fxxaxa的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．若'11,()4afx则在[1,4a]上是增函数，从而w．w．w．k．s．5．u．c．o．m'()fx在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,faa最大值是'2(4)15.faa……9分由'22|()|12,1236912,fxaaxaxaa得于是有w．w．w．k．s．5．u．c．o．m'2'2(1)36912,(4)1512.faaafaaa且由''14(1)121,(4)120.35faafaaa得由得……………………………12分所以11414(,1][,1][0,],(,].43545aa即…………………………13分若a1,则∵'2'|()|1512.[1,4]|()|12faaaxafxa故当时不恒成立．…15分所以使'|()|12([1,4])fxaxa恒成立的a的取值范围是14(,].4516分19．解：（1）设商品降价x元，则每个星期多卖的商品数为2kx，若记商品在一个星期的获利为()fx，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)fxxkxxkx，又由已知条件，2242k·，于是有6k，所以32()61264329072[030]fxxxxx，，．（2）根据（1），我们有2()1825243218(2)(12)fxxxxx．当x变化时，()fx与()fx的变化如下表：x02，2(212)，121230，()fx00()fx极小极大故12x时，()fx达到极大值．因为(0)9072f，(12)11264f，所以定价为301218元能使一个星期的商品销售利润最大．20．解（1）f（x）＝210,0,103,0.10xxxxx≥………………………………2分①当x＜0时，f（x）＝310x＞3．因为m＞22．则当22＜m≤3时，方程f（x）＝m无解；当m＞3，由10x＝3m，得x＝lg3m．………………………………4分②当x≥0时，10x≥1．由f（x）＝m得10x＋210x＝m，∴（10x）2－m10x＋2＝0．因为m＞22，判别式＝m2－8＞0，解得10x＝m±m2－82．因为m＞22，所以m＋m2－82＞2＞1．所以由10x＝m＋m2－82，解得x＝lgm＋m2－82．令m－m2－82＝1，得m＝3．所以当m＞3时，m－m2－82＝4m＋m2－8＜43＋32－8＝1，当22＜m≤3时，m－m2－82＝4m＋m2－8＞43＋32－8＝1，解得x＝lgm－m2－82．综上，当m＞3时，方程f（x）＝m有两解x＝lg3m和x＝lgm＋m2－82；当22＜m≤3时，方程f（x）＝m有两解x＝lgm±m2－82．…………………8分（2）法一:（Ⅰ）若0＜a＜1，当x＜0时，0＜f（x）＝3ax＜3；当0≤x≤2时，f（x）＝ax＋2ax．令t＝ax，则t∈[a2，1]，g（t）＝t＋2t在[a2，1]上单调递减，所以当t＝1，即x＝0时f（x）取得最小值为3．当t＝a2时，f（x）取得最大值为222aa．此时f（x）在（－∞，2]上的值域是（0，222aa]，没有最小值．……………11分（Ⅱ）若a＞1，当x＜0时，f（x）＝3ax＞3；当0≤x≤2时f（x）＝ax＋2ax．令t＝ax，g（t）＝t＋2t，则t∈[1，a2]．①若a2≤2，g（t）＝t＋2t在[1，a2]上单调递减，所以当t＝a2即x＝2时f（x）取最小值a2＋2a2，最小值与a有关；…………13分②a2≥2，g（t）＝t＋2t在[1，2]上单调递减，在[2，a2]上单调递增，所以当t＝2即x＝loga2时f（x）取最小值22，最小值与a无关．…………15分综上所述，当a≥42时，f（x）在（－∞，2]上的最小值与a无关．…………16分法二:||()2,[2,)xxgxaax①当1a时，a）0x时，1xa，()3xgxa，所以()[3,)gx，b）20x时，211xaa()2xxgxaa，所以221'()ln2lnlnxxxxagxaaaaaa……………………9分ⅰ当2112a即412a时，对(2,0)x，'()0gx，所以()gx在[2,0)上递增，所以222()[,3)gxaa，综合a）b）()gx有最小值为222aa与a有关，不符合……11分ⅱ当2112a即42a时，由'()0gx得1log22ax，且当12log22ax时，'()0gx，当1log202ax时，'()0gx，所以()gx在1[2,log2]2a上递减，在1[log2,0]2a上递增，所以min1()log22agxg22，综合a）b）()gx有最小值为22与a无关，符合要求．………………13分②当01a时，a）0x时，01xa，()3xgxa，所以()(0,3]gxb）20x时，211xaa，()2xxgxaa，所以221'()ln2lnlnxxxxagxaaaaaa0，()gx在[2,0)上递减，所以222()(3,]gxaa，综合a）b）()gx有最大值为222aa与a有关，不符合…………………15分综上所述，实数a的取值范围是42a．………………………………16分