2011届高三年级第四次月考数学试卷（理科）

-1-2011届高三年级第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共同10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列命题中的假命题是（）A.02,1xRxB.1lg,xRxC．01,2xNxD.2tan,xRx2.设集合}log,5{)63(22aaA，集合},,1{baB若}2{BA则集合BA的非空真子集的个数是（）A．3个B．7个C．14个D．15个3．已知命题p：存在xxx32),,0(；命题q：ABC中，若BAsin.sin，则BA，则下列命题为真命题的是（）A．p且qB．（﹁p）且qC．p或（﹁q）D．p且（﹁q）4．给定函数①52xy，②)1(21logxy，③|1|yx，④12xy，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①④5．将函数()sin()fxx的图象向左平移2个单位，若所得的图象与原图象重合，则的值不可能等于（）A．4B．6C．8D．126.设等差数列}{na的前n项和为nS,若6,11641aaa,则当nS取最小值时,n等于（）A．6B．7C．8D．97.已知A，B，C三点的坐标分别是3(3,0),(0,3),(cos,sin),(,)22ABC若1BCAC，则21tan2sinsin2的值为（）A.95B.3C.2D.598、已知定义在R上的奇函数满足(4)()fxfx，且在区间[0,2]上是增函数，则（）A．(25)(11)(80)fffB．(80)(11)(25)fffC．(11)(80)(25)fffD．(25)(80)(11)fff9、已知P是圆22(3)(3)1xy上或圆内的任意一点，O为坐标原点，1(,0)2OA，则OAOP的最小值为（）A．12B．32C．1D．210．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足ABPCPBPA，-2-BCQCQBQA，CARCRBRA，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为()A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上）11.不等式02322xxx的解集是.12.函数()sin(sincos)fxxxx的单调递减区间是.13.关于平面向量有下列四个命题：①若cbcaba则,；②已知)6,2(),3,(bka．若ba//，则1k；③非零向量,ab，满足baba，则baa与的夹角为30；④0)()(bbaabbaa．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）14.若向量))(sin2,(cos),1,sin2(2Rmba，且ba则m的最小值为_______。15.已知函数),()(23Rbabxaxxxf的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为121，则a的值为16.已知函数xxfx2log31)(，正实数,,abc是公差为正数的等差数列，且满足()()()0fafbfc．若实数d是方程()0fx的一个解，那么下列四个判断：①da；②db；③dc；④dc中有可能成立的个数为2011届高三年级第四次月考数学试卷答题卡（理科）一、选择题-3-题号12345678910答案二、填空题11、12、13、14、15、16、三、解答题（本大题共6小题，共76分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(12分)已知函数.2cos2cos21cos4)(4xxxxf（1）求11()12f的值；（2）当[0,)4x时，求()()sin2gxfxx的最大值和最小值。18.(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直。(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．19.(12分)在ABC中，cba,,分别是CBA,,的对边长，已知AAcos3sin2.-4-AEyxDCB(1)若mbcbca222,求实数m的值;(2)若3a,求ABC面积的最大值.20.（12分）已知函数()sin()(0,0)fxx的一系列对应值如下表：x4064234y0112010（1）求()fx的解析式；（2）若在ABC中，2AC，3BC，1()2fA，求ABC的面积．21、（14分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设AD＝x(x≥1)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；-5-（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.22.（本小题14分）已知函数()2lnpfxpxxx．⑴若2p，求曲线()fx在点(1,(1))f处的切线方程；-6-⑵若函数()fx在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；⑶设函数2()egxx，若在1,e上至少存在一点0x，使得00()()fxgx成立，求实数p的取值范围．2011届高三年级第四次月考数学试卷答题卡（理科）答案1—5：CCBBB6—10:ADDCB-7-11、21,2xxx或12、3[,]()88kkkZ13、②③④14、1215、-116、317、解：fxxxxx2cos2cos2)1cos2)(1cos2()(22xxxx2cos2cos2)1cos2(2cos2xxx2cos1cos221cos222（1）236cos611cos)1211(2cos)211(f（2）)42sin(22sin2cos)(xxxxg，由43424,40xx故1)42sin(22x，2)42sin(21x，即)(xg的最小值是1，最大值是.218、[解析](1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，∴a＋b＝4.①f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)·(－19)＝－1，即3a＋2b＝9，②由①②式解得a＝1，b＝3.(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0得x≥0或x≤－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m≥0或m＋1≤－2，∴m≥0或m≤－3.19、解(1)由AAcos3sin2两边平方得:AAcos3sin22，即0)2)(cos1cos2(AA，解得:21cosA，而mbcbca222可以变形为22222mbcacb，即212cosmA，所以1m；(2)由(1)知21cosA，则23sinA，又212222bcacb，所以22222abcacbbc，即2abc，故2333sin2224ABCbcaSA20、解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数()fx的周期为344T，所以22．注意到sin(2())04，也即2()2kkZ，由0，所以2所以函数的解析式为()sin(2)2fxx（或者()cos2fxx）（Ⅱ）∵1()cos22fAA，∴3A或23A，当3A时,-8-在ABC中，由正弦定理得，sinsinBCACAB，∴32sin32sin33ACABBC∵BCAC，∴3BA，∴6cos3B，∴3613323sinsin()sincoscossin23236CABABAB，∴11323323sin232262ABCSACBCC．23A时,11323323sin232262ABCSACBCC21．(1)在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①又S△ADE＝21S△ABC＝23a2＝21x·AE·sin60°x·AE＝2.②②代入①得y2＝x2＋2)x2(－2(y＞0),∴y＝2x4x22(1≤x≤2).(2)如果DE是水管y＝2x4x22≥2222,当且仅当x2＝2x4，即x＝2时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝2.如果DE是参观线路，记f(x)＝x2＋2x4，可知函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增，故f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5.∴ymax＝325.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.22、解:⑴当2p时，函数2()22lnfxxxx，(1)222ln10f．222()2fxxx，曲线()fx在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)2222f．从而曲线()fx在点(1,(1))f处的切线方程为02(1)yx，即22yx．⑵22222()ppxxpfxpxxx．令2()2hxpxxp，要使()fx在定义域(0,)内是增函数，只需()0hx≥在(0,)内恒成立．由题意0p，2()2hxpxxp的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)xp，∴min1()hxpp，只需10pp≥，即1p≥时，()0,()0hxfx≥≥∴()fx在(0,)内为增函数，正实数p的取值范围是[1,)．⑶∵2()egxx在1,e上是减函数，∴xe时，min()2gx；1x时，max()2gxe，即()2,2gxe，①当0p时，2()2hxpxxp，其图象为开口向下的抛物线，对称轴1xp在y轴的左侧，且(0)0h，所以()fx在x1,e内是减函数．当0p时，()2hxx，因为x1,e，所以-9-()0hx，22()0xfxx，此时，()fx在x1,e内是减函数．故当0p≤时，()fx在1,e上单调递减max()(1)02fxf，不合题意；②当01p时，由11,0xexx≥，所以11()2ln2lnfxpxxxxxx≤．又由⑵知当1p时，()fx在1,e上是增函数，∴1112ln2ln22xxeeexee≤，不合题意；③当1p≥时，由⑵知()fx在1,e上是增函数，(1)02f，又()gx在1,e上是减函数，故只需maxmin()()fxgx，1,xe，而max1()()2lnfxfepeee，min()2gx，即12ln2peee，解得241epe，所以实数p的取值范围是24,1ee．