空间向量与立体几何

辽宁名校2011届高三数学单元测试—空间向量与立体几何注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A．0B．7C．快D．乐2．用小立方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体需要的小立方块最少与最多分别是（）A．10与15B．9与17C．10与16D．9与163．设m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥，n∥，则m⊥n；②若,则∥；③若m∥，n∥，则m∥n;④若∥，∥,m⊥则m⊥．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．8+43B．4+43主视图俯视图C．8+4D．1035．已知向量),2,4(),3,1,2(xba，使ab成立的x与使//ab成立的x分别为（）A．10,63B．-10,636C．-6,10,63D．6,-10,636．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面∥平面，则平面内任意一条直线m∥平面；③若平面与平面的交线为m，平面内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面．其中不正确．．．命题的个数为（）A．3B．2C．1D．07．若A)1,2,1(，B)3,2,4(，C)4,1,6(，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48B．18C．24D．36．10．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4,AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为（）A．1500B．450C．600D．120011．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin的值是（）A．23B．22C．410D．4612．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”;黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（）A．0B．1C．2D．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。13．已知力1F=(1,2,3)，2F＝(-2,3,-1)，3F(3,-4,5)，若1F，2F，3F共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，-2，1)移到M2(3，1，2)，则合力作的功为．14．两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有个．15．已知球O的半径为1，ABC，，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为π2，则球心O到平面ABC的距离为,16．下列命题：①若a与b共线,b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在直线也共面；③若a与b共线，则存在唯一的实数，使b=a；④若A、B、C三点不共线，0是平面ABC外一点．OCOBOAOM313131,则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，上述命题中的真命题是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。17．（12分）（09浙江理20）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．18．在直三棱柱111CBAABC中，1ACAB，090BAC，且异面直线BA1与11CB所成的角等于060，设aAA1．（1）求a的值；（2）求平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的大小．19．(12分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD;（2）证明BD∥面PEC;（3）求面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值．20．已知123，，eee为空间的一个基底，且12323OPeee，1232OAeee，12332OBeee，123OCeee．（1）判断PABC，，，四点是否共面；（2）能否以OAOBOC，，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP．21．（本小题满分12分）数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然后他将其中的两根换成长度分别为在a2和a3的塑料棒、又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能ABCA1B1C1搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为a3的塑料棒．（1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；（2）试证：平面ABD⊥平面CBD；（3）求新三棱锥的外接球的表面积．22．(14分)如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点E是正方形11BCCB的中心，点F、G分别是棱111,CDAA的中点．设点11,EG分别是点E，G在平面11DCCD内的正投影．（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面11DCCD内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线1FG平面1FEE；（3）求异面直线11EGEA与所成角的正弦值．参考答案一、选择题G1E122题图1．B;解析:将展开图还原成正方体．2．C;解析:由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块。由俯视图可知，它自左而右共有3列，第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可．因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定．并且最少时为第一列中有一个三层，其余为一层，第三列一层，共10块。如图2-1，最多要16块如图2-2．3．C;解析:①④正确．4．A;解析:该几何体顶部是一个半径为1的球，底部是一个边长为2的正方体．5．A;解析：若ab，则108230,3xx；若//ab，则2:(4)(1):23:,6xx．答案选A．6．B;解析:正确的为②．①、③不正确．．．．7．A;解析:(3,4,2),(5,1,3),(2,3,1)ABACBC，0ABAC，得A为锐角；0CACB，得C为锐角；0BABC，得B为锐角；所以为锐角三角形8．C;解析:将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′．在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA与BD所成角为60°．9．D;解析:正方体一条棱对应着2个“正交找面对”，12条梭共对应着24个“正交线面对”，正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．10．C;解析:由条件，知BDABCACDBDABABCA,0,0．∴BDCABDABABCABDABCACD222||||||||2222222846+2×6×8cos2)172(,BDCA，∴cos21,BDCA,即BDCA,1200，所以二面角的大小为600，故选C．图2-2图2-111．D;解析：如图，建立坐标系，易求点D(23,21,1)，平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0)，所以cosn，AD=223=46,即sin=46．12．B;解析：本题考查空间想象能力、异面直线的定义等相关知识．由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黄“电子狗”也是过6段后又回到起点．所以黑“电子狗”爬完2006段后实质是到达第二段的终点D1,黄“电子狗”爬完2007段后到达第三段的终点C1．此时的距离为|C1D1|=1．13．解析：合力321FFFF=(2,1,7),F对物体作的功即为21MMFW=(2,1,7)·(3,3,1)=2×3+1×3+7×1=16．14．无穷多．解析：本通主要考查学生能否迅速构出一些常见的几何模型，并不是以计算为主．（解法一）：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个．（解法二）：通过计算，显然两个正四校锥的高均为21,考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是：[21,1)，所以该儿何体的体积取值范围是:[61,31]．15．33;解析：球心O与ABC，，三点构成正三棱锥OABC，如图所示，已知1OAOBOCR，90AOBBOCAOC，由此可得AO面BOC．12BOCS△，32ABCS△．由ABOCOABCVV，得33h．16．④解析：如果b=0,则a与c不一定共线,xyzABCA1B1C1FE所以①错误;因为向量可以任意平移,可知②错;③中的a≠0这一条件缺少,于是③错．可以证明④中A、B、C、M四点共面．等式两边同加MO，则)(31)(31)(31OCMOOBMOOAMO=0,即,0MCMBMAMCMBMA,则MA与MB、MC共面，又M是三个有向线段的公共点，故A、B、C、M四点共面．故④是真命题．三、解答题：17．证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0,4,3),PE4,0,3F，．c．o．3分由题意得，0,4,0,G因(8,0,0),(0,4,3)OBOE，因此平面BOE的法向量为(0,3,4)n，(4,4,3FG得0nFG，又直线FG不在平面BOE内，因此有//FG平面BOE．c．o．m6分（II）设点M的坐标为00,,0xy，则00(4,,3)FMxy，因为FM平面BOE，所以有//FMn，因此有0094,4xy，即点M的坐标为94,,04，．c．o．m8分在平面直角坐标系xoy中，AOB的内部区域满足不等式组008xyxy，经检验，点M的坐标满足上述不等