新化四中2010届高三上（理科）期中考试

1新化四中2010届高三上学期期中考试数学试卷（理科）(时量:120分钟150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合)1(log2xyxA，AxyyBx,12，则BA（D）A．B．(1，3)C．(1，)D．(3，)2.已知集合A={x｜a-1≤x≤a+2}，B={x|3x5}，则能使AB成立的实数a的取值范围是(B)A．{a|3a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3a4}D．3．命题“042,2xxRx”的否定为（A）(A)042,2xxRx(B)042,2xxRx(C)042,2xxRx(D)042,2xxRx4．指数函数y＝f(x)的反函数的图象过点(2，－1)，则此指数函数为（A）A．xy)21(B．xy2C．xy3D．xy105．设函数)(xfy与函数)(xg的图象关于3x对称，则)(xg的表达式为（D）A．)23()(xfxgB．)3()(xfxgC．)3()(xfxgD．)6()(xfxg6．若函数1log)(xxfa在区间(－1，0)上有)(0)(xfxf，则的递增区间是（C）A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，＋∞)7．若yxyx，则2log的最小值为（A）A．3322B．2333C．332D．2238．若方程mmxx无实数解，则实数21的取值范围是（C）A．(－∞，－1)B．[0，1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．[2，＋∞)2BCDOAP二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在横线上．9．)2log(2)9(log)(91ffxxfa，则满足函数的值是___22_______________．10．在极坐标系中，定点23,2A，点B在直线0sin3cos上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为__)611,1(________.11.参数方程2cos1sin22yx（为参数）化为普通方程应该是24(23)yxx．12．函数)2(log221xxy的单调递减区间是_____2,___________________．13．已知)(xf是定义在R上的偶函数，并且)(1)2(xfxf，当32x时，xxf)(，则)5.105(f________52_________．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为7．15．某同学在研究函数()1xfxx(xR)时，分别给出下面几个结论：①等式()()0fxfx在xR时恒成立；②函数f(x)的值域为(－1,1)；③若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④函数()()gxfxx在R上有三个零点.其中正确结论的序号有(1),（2）,(3).(请将你认为正确的结论的序号都填上)3三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、(本小题满分12分)已知1:(),3xpfx且|()|2fa;:q集合}0x|x{B},Rx,01x)2a(x|x{A2且BA.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m对p：所以1|()|||23afa．若命题p为真，则有75a；对q：∵}0x|x{B且BA∴若命题q为真，则方程01x)2a(x)x(g2无解或只有非正根．∴04)2a(2或022a0)0(g0,∴4a.∵p,q中有且只有一个为真命题∴(1)p真，q假：则有4a54a7a5，即有；(2)p假，q真：则有7a4a5a7a，即有或；∴4a5或7a．17．(本小题满分12分)已知f(x)＝2x－1的反函数为1f(x)，g(x)＝log4(3x＋1)．⑴若f－1(x)≤g(x)，求x的取值范围D；⑵设函数H(x)＝g(x)－121f(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域．解：(Ⅰ)∵12)(xxf∴)1(log)(21xxf(x＞－1)由)(1xf≤g(x)∴13)1(012xxx解得0≤x≤1∴D＝[0，1](Ⅱ)H(x)＝g(x)－)123(log21113log21)(21221xxxxf4∵0≤x≤1∴1≤3－12x≤2∴0≤H(x)≤21∴H(x)的值域为［0，21］18．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。(Ⅰ)求,ab的值；(Ⅱ)若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；解：(Ⅰ)因为()fx是奇函数，所以(0)f＝0，即111201()22xxbbfxaa又由f(1)＝－f(－1)知111222.41aaa(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知11211()22221xxxfx，易知()fx在(,)上为减函数。又因()fx是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0fttftk等价于222(2)(2)(2)fttftkfkt，因()fx为减函数，由上式推得：2222ttkt．即对一切tR有：2320ttk，从而判别式14120.3kk解法二：由(Ⅰ)知112()22xxfx．又由题设条件得：2222222121121202222tttktttk，即：2222212212(22)(12)(22)(12)0tktttttk，整理得23221,ttk因底数21,故:2320ttk上式对一切tR均成立，从而判别式14120.3kk19．(本小题满分13分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2009年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2009年生产化妆品5的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完．⑴将2009年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；⑵该企业2009年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)解：(Ⅰ)由题意：13tkx将123,21,0txkxt代入当年生产x(万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x＋3＝32(3－12t)＋3，当销售x(万件)时，年销售收入＝150%［32(3－12t＋3］＋t21由题意，生产x万件化妆品正好销完∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费即)1(235982ttty(t≥0)(Ⅱ)∵)13221(50tty≤50－162＝42万件当且仅当13221tt即t＝7时，ymax＝42∴当促销费定在7万元时，利润增大．20.(本小题满分13分)已知函数()yfx的反函数。定义：若对给定的实数(0)aa，函数()yfxa与1()yfxa互为反函数，则称()yfx满足“a和性质”；若函数()yfax与1()yfax互为反函数，则称()yfx满足“a积性质”。（1）判断函数2()1(0)gxxx是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；【解析】（1）解，函数2()1(0)gxxx的反函数是1()1(1)gxxx1(1)(0)gxxxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m而2(1)(1)1(1),gxxx其反函数为11(1)yxx故函数2()1(0)gxxx不满足“1和性质”（2）设函数()()fxkxbxR满足“2和性质”，0.k112()(),(2)xbxbfxxRfxkk6而(2)(2)(),fxkxbxR得反函数2xbkyk由“2和性质”定义可知2xbk=2xbkk对xR恒成立1,,kbR即所求一次函数为()()fxxbbR21．(本小题满分13分)已知二次函数cbxaxxf2)(中cba,,均为实数，且满足0cba,对于任意实数x都有0)(xxf，并且当)2,0(x时有2)21()(xxf成立。（Ⅰ）求f(1)的值；（Ⅱ）证明：161ac；（Ⅲ）当x∈[－2，2]且a+c取最小值时，函数mxxfxF)()(（m为实数）是单调函数，求m的取值范围.解：（Ⅰ）∵对于任意x∈R，都有f（x）—x≥0，且当x∈(0,2)时，有f（x）≤(21x)2·令x=1∴1≤f(1)≤(211)2.即f（1）=1.（Ⅱ）由a—b+c=0及f（1）=1.有1,0cbacba可得b=a+c=21又对任意x，f（x）—x≥0,即ax2—21x+c≥0.∴a＞0且△≤0.即41—4ac≤0。解得ac≥161.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a＞0,c＞0.a+c≥2ac≥2·161=21.a=c，当且仅当a+c=21时等号成立。此时a=c=41∴f(x)=41x2+21x+41,F(x)=f(x)－mx=41[x2+（2－4m）x+1]当x∈[－2,2]时，F(x)是单调的，所以F(x)的顶点一定在[－2,2]的外边.∴|242m|≥2解得m≤－21或m≥23