第三章 数列

第三章数列一、数列的概念1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示。（通项公式不唯一）3、数列的表示:(1)列举法:如1,3,5,7,9……;(2)图解法:由(n,an)点构成;(3)解析法:用通项公式表示,如an=2n+1(4)递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列5、任意数列{an}的前n项和的性质Sn=a1+a2+a3+……+an2111nSSnSannn6、求数列中最大最小项的方法：最大11nnnnaaaa最小11nnnnaaaa考虑数列的单调性二、数列通项的求法1、由等差，等比定义，写出通项公式2、利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代3、一阶递推qpaann1,我们通常将其化为AapAann1看成{bn}的等比数列4、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题三、等差数列1．定义：)()(1Nndaann常数2．通项：dnaan)1(1，推广：dmnaamn)(3．前n项的和：dnnnaaanSnn2)1(2)(114．中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5．性质:nmaaddnmaanmnm,1qpmnmqpaaaqpmaaaanmqp2,2,,,2则若则若在等差数列中.,,,,,,,,,3211121dddpdbaqapaddbannnnnn且公差分别为列也为等差数则数列且公差分别为均为等差数列若（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,…,为等差数列，公差为md。(5)等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…为等差数列，公差为n2d。(6)若等差数列的项数为2n，则有1,nnaaSSndSS偶奇奇偶。（7）等差数列的项数为奇数n，则偶奇中间项偶奇且SSaSSSnn，11nnSS偶奇。（8）na为等差数列，nnanS1212。（9）通项公式是an=An+B0A是一次函数的形式；前n项和公式02ABnAnSn是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，Sn=na1,an=a1）（10）若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组001nnaa来确定n。若a10，d0，Sn有最小值，可由不等式组001nnaa来确定。6．等差数列的判定方法(1)定义法:)()(1Nndaann常数(2)中项法:212nnnaaa(3)通项法:dnaan)1(1(4)前n项和法:BnAnSn27．知三求二(nnSanda,,,,1),要求选用公式要恰当.3．设元技巧:三数:daada,,四数dadadada3,,,3四、等比数列1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.)(1为不等于零的常数qqaann2．通项公式：11nnqaa,推广形式:mnmnqaa,变式),,(Nnmmnaaqmnmn3．前n项和：)10(11)1()1(111qqqqaaqqaqnaSnnn且注:应用前n项和公式时,一定要区分11qq与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且acb5．等比数列性质:nmnmnmnmaaqqaa,1qpmnmqpaaaqpmaaaanmqp2,2,,,2则若则若在等比数列中。.,,,1,,,,,1),0(,.,,3qqppqqpqababaammaqpbannnnnnnnn且公差分别为也为等比数列则数列且公分别为均为等比数列若（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+m,an+2m,…,为等比数列，公比为qm。(5)等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…为等比数列，公比为qn。6．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若为等比数列数列nnnaNnqaa)(1(2)等比中项法:若为等比数列数列且nnnnnnnaaaaNnaaa)0(21221(3)通项法:若为等比数列数列的常数均是不为nnnaN，nqccqa)0,((4)前n项和法:若为等比数列数列且为常数nnnaqq，qAAAqS)1,0,(7．解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11qq和讨论②当为递增数列等比数列时或naqaqa,10,01,011()1(111qqaaannn)为递减数列等比数列时或naqaqa,10,01,011六．数列的求和1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn公比含字母时一定要讨论2．错位相减法求和：如：.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。4．合并求和：如：求22222212979899100的和。5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：111)1(1nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn6．公式法求和6)12)(1(21222nnnn2333]2)1([21nnn7．倒序相加法求和8．其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等