云南昆明一中2012届高三上12月月考数学理试题

昆明市第一中学2011年高三年级12月月考数学试题（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22．．题为选考题，其它题为必考题。．．．．．．．．．．．．．．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．全卷满分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．150．．．分，答题时间为．．．．．．．120．．．分钟．．．．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合},0|{2xxxM，}2|{xxN，则（）A．NMB．MNMC．MNMD．RNM2．已知,xyR，i为虚数单位，且(2)1xiyi，则(1)xyi的值为（）A．4B．4+4iC．4D．2i3．下列判断错误．．的是（）A．“22bmam”是“ab”的充分不必要条件B．命题“01,23xxRx”的否定是“01,23xxRx”C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．若qp为假命题,则p,q均为假命题4．已知函数f（x）＝2,01,0xxxx，若f（a）＋f（1）＝0，则实数a的值等于（）A．－3B．1`C．3D．－15．从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有（）A．210B．420C．630D．8406．设函数2()()fxgxx，曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的斜率为（）A．14B．2C．4D．127．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于（）A．6B．2C．23D．38．由函数3cos,(02)12yxxxy的图象与直线及的图象所围成的一个封闭图形的面积是（）A．4B．123C．12D．29．若直线2ax－by+2=0（a0,b0）被圆x2+y2+2x－4y+1=0截得的弦长为4，则ba11的最小值（）A．21B．41C．2D．410．当0x2时，函数f（x）=21cos28sinsin2xxx的最小值为（）A．2B．23C．4D．4311．已知,11,11ba则关于x的方程022baxx有实根的概率是（）A．41B．21C．81D．10112．已知函数f（x）=ax2+bx-1（a,b∈R且a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则ab的取值范围为（）A．（-1，1）B．（-∞，-1）C．（-∞，1）D．（-1，+∞）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡上。13．在ABC中，如果sin3sinAC，30B，2b，则ABC的面积为．14．设nxx)3(2131的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若h+t=272，则二项展开式为x2项的系数为。15．阅读右面的程序框图，则输出的S=．16．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．三、解答题：本大题共8小题，其中17～21小题为必做题，22～24小题为选做题，共70分。17．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，且na是nS与2的等差中项，数列{}nb中，11b=，点1(,)nnPbb+在直线02yx上。（Ⅰ）求数列{}{},nnab的通项公式na和nb；（Ⅱ）设nnnbac，求数列nc的前n项和nT。18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．19．（本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：乙校：（Ⅰ）计算x，y的值。（Ⅱ）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（Ⅲ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，并判断是否有97．5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d；20．（本小题满分12分）已知函数14341ln)(xxxxf．（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；分组[70,80）[80,90）[90,100）[100,110）频数231015分组[110,120）[120,130）[130,140）[140,150]频数15x31分组[70,80）[80,90）[90,100）[100,110）频数1298分组[110,120）[120,130）[130,140）[140,150]频数1010y3甲校乙校总计优秀非优秀总计P（k2k0）0．100．0250．010K2．7065．0246．635EDCBANM（Ⅱ）设42)(2bxxxg，若对任意)2,0(1x，2,12x，不等式)()(21xgxf恒成立，求实数b的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于255，它的一个顶点恰好是抛物线241xy的焦点，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若12,,MAAFMBBF12求证：为定值．22、选考题:（本小题满分10分。请在下列A、B、C三题中任选一题作答，请用2B铅笔在答题卡上A、B、C的相应选项上先填涂再作答，若不填涂所选题的选项字母，所做题不给分）A．【选修4-1:几何证明选讲】如图，ΔABC是内接于⊙O，ACAB，直线MN切⊙O于点C，弦MNBD//，AC与BD相交于点E．（I）求证：ΔABE≌ΔACD；（Ⅱ）若,6AB4BC，求AE．B．【选修4—4：坐标系与参数方程】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,5)，点M的极坐标为(4,)2，若直线l过点P，且倾斜角为3，圆C以M为圆心、4为半径。（I）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系。C．【选修4—5：不等式选讲】设函数()|4|||fxxxaa(＞1），且()fx的最小值为3，若()5fx，求x的取值范围。理科数学试题第5页(共6页)参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．314．115．3016．556三、解答题（本大题共8小题，共70分）17．解：（Ⅰ）∵na是nS与2的等差中项，∴22nnaS①………2分∴1122,22,nnnnSaSa*12,)nnnSSannN又－＝，（②由①-②得*12,)nnnSSannN又－＝，（*12,(2,),nnnannNaa即数列是等比数列。………4分再由22nnaS得。，解得2221111aaSa∴nna2………6分11,)20nnnnPbbbb点（在直线x-y+2=0上，＋＝。∴。，是等差数列，又，即数列121211nbbbbbnnnn……8分（Ⅱ）(21)2,nncn＝231122123252(21)2,nnnnTabababn＝①题次123456789101112答案BCDABCABDCAD122,0,nnnnaaaa23121232(23)2(21)2nnnTnn。②①-②得：23112222222)(21)2nnnTn＋(＋＋＋，……10分即：341112(222(21)2nnnTn），∴62)32(1nnnT。…………12分18．（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．………………………4分（Ⅱ）设AC∩BD＝O．因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝3．如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则P（0，－3，2），A（0，－3，0），B（1,0,0），C（0，3，0）．所以PB→＝（1，3，－2），AC→＝（0,23，0）．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!＝错误!．………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知BC→＝（－1，3，0）．设P（0，－3，t）（t＞0），则BP→＝（－1，－3，t）．设平面PBC的法向量m＝（x，y，z），则BC→·m＝0，BP→·m＝0．所以－x＋3y＝0，－x－3y＋tz＝0，令y＝3，则x＝3，z＝6t，所以m＝3，3，6t．同理，可求得平面PDC的法向量n＝－3，3，6t．因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋36t2＝0．解得t＝6．所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA＝6．……………………12分19．解:（Ⅰ）甲校抽取1100105552100人，乙校抽取1000105502100人，故x＝6，y＝7，………4分（Ⅱ）估计甲校优秀率为1055≈18．2%，乙校优秀率为2050＝40%．………6分（Ⅲ）k2＝75×30×50×5545)×20-30×105(102＝6．109，又因为6．1095．024,1－0．025＝0．975，故有97．5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。…………12分20．解：（I）14341ln)(xxxxf的定义域是(0,)．．．．．．．．．．．1分22243443411)(xxxxxxf．．．．．．．．．．．．．．．2分甲校乙校总计优秀102030非优秀453075总计5550105由0x及0)(xf得31x；由0x及0)(xf得310xx或，故函数)(xf的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(．．．．．．．．4分（II）若对任意)2,0(1x，2,12x，不等式)()(21xgxf恒成立，问题等价于maxmin)()(xgxf，．．．．．．．．．5分由（I）可知，在(0,2)上，1x是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min1()(1)2fxf；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分2()24,1,2gxxbxx当1b时，max()(1)25gxgb；当12b时，2max()()4gxgbb；当2b时，max()(2)48gxgb；．．．．．．．．．．．．8分问题等价于11252bb或212142bb或21482bb．．．．．．．．11分解得1b或1412b或b即142b，所以实数b的取值范围是14,2．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（I）设椭圆C的方程为)0(12222babyax，因为抛物线241xy的焦点坐标是(0,1)所以由题意知b=1．又有22225.5aba21251.5a即25.a∴椭圆C的方程为.1522yx…………………………………………4分（I