增城中学2012届高三综合测试（四）

1增城中学2012届高三综合测试（四）理科数学试卷(2011年11月28日)第I卷（选择题，共40分）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,0,2}U,集合{1,2}A,{0,2}B,则()UCAB=（）A．B．{0}C．{2}D．{0，1，2}2．已知复数11izi，则z等于（）A．iB．2iC．1D．13．设nS是等差数列{}na的前n项和，若5359aa，则95SS=（）A．1B．12C．1D．2４．已知a、b是实数，则“1a，1b”是“2ab且1ab”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条5．已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，有下列4个命题：①若nnm,//，则m∥；②若nmnm,,，则//n；③若nm,,，则mn；④若mn、是异面直线，//,,mnm，则//n.其中正确的命题有()．6.实数x、y满足不等式组0,0,220.yxyxy则11yzx的取值范围是（）A．11,3B．11,23C．1,2D．1,127.甲、乙两人从4门不同的课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．18种D．24种8．在ABCD中，已知.9ABAC=uuuruuur，sincossinBAC，ABCD面积为6，P为线段AB上的点，且..||||CACBCPxyCACB=+uuruuruuruuruur，则11xy+的最小值为（）A．76B．712C．73123+D．7363+A．②③B．②④C．③④D．①②2NMCABO第II卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．已知双曲线22221xyab的离心率为2，一个焦点与抛物线216yx的焦点相同，则渐近线方程为.10．如图：某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体外接球的表面积是2cm.11．二项式291(2)xx展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为.12．关于x的不等式2121xxaa的解集为空集，则实数a的取值范围是____．13．如图，第n*nN个图形是由正2n边形“扩展”而来，例如第一个图形由正三边形“扩展”而来，，则前30个图形中共有个顶点．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）14.（坐标系与参数方程选做）在极坐标系中，圆2cos的圆心到直线cos2的距离是____________.15.（几何证明选讲选做题）如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，45BNA，若⊙O的半径为23，3OAOM，则MN的长为.3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数2()3sin22sinfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）若[,]63x，求()fx的最大值和最小值，以及对应的x的值．17．（本小题满分12分）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张.每张奖券中奖的概率为51，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元.某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.设该顾客购买餐桌的实际支出为（元）．（Ⅰ）求的所有可能取值；（Ⅱ）求的分布列和数学期望E．18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11ABBA，11ACCA均为正方形，∠=90BAC,点D是棱11BC的中点.（Ⅰ）求证：1AD⊥平面11BBCC；（Ⅱ）求证：1//AB平面1ADC；（Ⅲ）求二面角1DACA的余弦值.ABCC11B1A1D419．（本小题满分14分）已知函数23()3xfxx，数列{}na满足11a，且11()nnafa，*nN.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令11(2)nnnbnaa，13b，12nnSbbb，若20022nmS对一切*nN成立，求最小正整数m.20．（本小题满分14分）已知点)2,1(A是离心率为22的椭圆C：22221xyba(0)ab上的一点．斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点中任意两点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由？21．（本小题满分14分）已知函数xxxf2)(，xxgln)(，（Ⅰ）求证：)()(xgxf；（Ⅱ）若)()(xagxf恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）设)()()(xmgxfxF（Rm）有两个极值点1x、2x（1x2x），求实数m的取值范围，并证明：162ln43)(2xF．5增城中学2012届高三综合测试（四）理科数学答卷题号二161718192021总分得分二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．必做题：（9）（10）（11）（12）（13）选做题：（14）（15）三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分12分）(17)（本小题满分12分）班级姓名学号6（18）（本小题满分14分）(19)（本小题满分14分）ABCC11B1A1D7（20）（本小题满分14分）8（21）（本小题满分14分）9增城中学2012届高三综合测试（四）理科数学参考答案及评分标准一．BDCAADDC二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9））3yx（10）23cm（11）671（12）(1,0)（13）11960（14）1（15）2三．解答题：（16）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）fx3sin2cos21xx………2分.312(sin2cos2)122xx…3分2(sin2coscos2sin)166xx……4分2sin(2)16x……5分所以最小正周期为……6分（Ⅱ）因为[,]63x，所以65626x，……8分当262x，即6x时，()fx的最大值为1………10分当266x，即6x时，()fx的最小值为2.……12分(17)（本小题满分12分）解：（1）的所有可能取值为3400，2400，1400，400.………………………………2分（2）303164(3400)15125PC，2131148(2400)155125PC，2231112(1400)155125PC，33311(400)5125PC，的分布列为340024001400400P125641254812512125164481213400240014004002800.125125125125E…………11分答：数学期望为2800………12分（18）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABBA，11ACCA均为正方形，……………9分10所以11,AAACAAAB,所以1AA平面ABC，三棱柱111ABCABC是直三棱柱.………………1分因为1AD平面111ABC，所以11CCAD，………………2分又因为1111ABAC，D为11BC中点，所以111ADBC.……………3分因为1111CCBCC,所以1AD平面11BBCC.……………4分（Ⅱ）证明：连结1AC，交1AC于点O，连结OD，因为11ACCA为正方形，所以O为1AC中点，又D为11BC中点，所以OD为11ABC中位线，所以1//ABOD，………………6分因为OD平面1ADC，1AB平面1ADC，所以1//AB平面1ADC.………………8分(Ⅲ)解：（方法一）因为侧面11ABBA，11ACCA均为正方形，90BAC，所以1,,ABACAA两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系Axyz.设1AB，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22CBAD，.1111(,,0),(0,11)22ADAC，，………………9分设平面1ADC的法向量为=()x,y,zn，则有1100ADACnn，00xyyz，xyz，取1x，得(1,1,1)n.……11分又因为AB平面11ACCA，所以平面11ACCA的法向量为(1,00)AB，，………12分13cos,33nABnABnAB，………………13分因为二面角1DACA是钝角，所以二面角1DACA的余弦值为33.…14分（方法二）几何法过点D作1DPAC,垂足为P,再过点P作直线垂直1AC,交1AA于点Q,则DPQ就是二面角1DACA的一个平面角，设正方体棱长为1，求得64DP，24PQ,32DQB1ABCC11A1DxyzO11XYODBA则cosDPQ222323DPPQDQDPPQ(部分过程略,参考方法一酌情给分)(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）12312()33nnnnaafaa……………………………2分{}na是以23为公差，首项11a的等差数列……3分2133nan…………5分（Ⅱ）当2n时，111911()212122121()()3333nnnbaannnn………7分当1n时，上式同样成立1291111191(1)(1)23352121221nnSbbbnnn……10分20022nmS，即912002(1)2212mn对一切*nN成立，又91(1)221n随n递增，且919(1)2212n……………………12分9200222m，2011m，2011m最小…………………14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）ace22，12122ab，222cba2a，2b，2c14222yx-------------------------------------5分（Ⅱ）设直线BD的方程为bxy242222yxbxy0422422bbxx222(22)16(4)8640bbb2222b,2221bxx----①44221bxx-----②222128264864343)2(1bbxxBD，设d为点A到直线BD：bxy2的距离，3bd122)8(422122bbdBDSABD，当且仅当2b时取等号.因为2)22,22(，所以当2b时，ABD的面积最大，最大值为2-----14分（21）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）G(x)2xxlnx,(2x1)(x1)G(x)x)0(x-------1分)(xG在)1,0(上递减，在),1(上递增G(x)G(1)0)()(xgxf-----------------3分（Ⅱ）h(x)f(x)ag(x)h(1)0所以h(x)0的必要条件是0)0(h，得a1-----5分当1a时，由(1)知h(x)0恒成立。所以a1--------------6分（Ⅲ）)()()(xmgxfxFxmxxln2，)0(2)(2xxmxxxF，)(xF有两个极值点1x、2x等价于方程022mxx在),0(上有两个不