湛江市第二中学2011届高三年级月考（三）理科数学

-1-湛江市第二中学第三次月考数学（理科）试卷本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集BCABAII则集合集合},4,1{},5,4,3,1{},6,5,4,3,2,1{等于（）A．{1，4}B．{2，6}C．{3，5}D．{2，3，5，6}2.等比数列na的前n项和为ns，且41a，22a，3a成等差数列.若1a=1，则4s=（）A．7B.8C.15D.163．如图的程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A.i5B.i6C.i7D.i84．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）5．已知函数)0)(3sin()(xxf的最小正周期为，则该函数图象()A．关于点)0,3(对称，B．关于直线4x对称，C．关于点)0,4(对称，D．关于直线3x对称，6.53()yx展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为（）7.设圆x2+y2－2x+6y+1=0上有关于直线2x+y+c=0对称的两点，则c的值为（）ABCDO345xyz34444443-2-7899446473Oy23xA．2B．1C．－2D．－18.已知函数xxfx2log)31()(，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足0)()()(cfbfaf，若实数0x是方程0)(xf的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．ax0B．bx0C．cx0D．cx0二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只需选做一题，二题全答的，只计算前一题得分．）9．(1)(12)ii=.10.某校举行2010年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为，．11．如图，由曲线xxxxy与23,0,sin轴围成的阴影部分的面积是。12.某仪器显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有8个指示灯，每次显示其中的4个，且恰有3个相邻的。则一共显示的不同信号数是。13．给出下面四个命题：①m=3是直线05602)3(ymxmyxm与直线互相垂直的充要条件；②cbaacb,,是三个数成等比数列的既不充分又非必要条件；③p、q为简单命题，则“p且q为假命题”是“p或q为假命题”的必要不充分条件；④两个向量相等是这两个向量共线的充分非必要条件.⑤从某地区20个商场中抽取8个调查其收入和售后服务情况，宜采用分层抽样。其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题，两道题都做的，只记第一题的分.）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线132cos:(22sinxCy为参数），曲线213:14xtCyt（t为参数），则1C与2C的位置关系为________.15.(几何证明选讲选做题)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q，若120BTC，AB=4，则PQPB.三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）-3-16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且.54cosA（1）求ACB2cos2sin2的值；（2）若aSABCb求的面积,3,2的值。17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望．18．（本题满分14分）如图所示的长方体1111ABCDABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，12BB，M是线段11BD的中点．（Ⅰ）求证：//BM平面1DAC；（Ⅱ）求证：1DO平面1ABC；（Ⅲ）求二面角1BABC的大小．19．在等比数列}{na中，)(0*Nnan，16,442aa，nnab2log5第18题图-4-（Ⅰ）求数列{bn}的前n项和nS；（Ⅱ）是否存在*Nk，使得knSSSn2121对任意*Nn恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数aaxxxxfln)1(21)(2．（I）若23a，求函数)(xf的极值；（II）若对任意的)3,1(x，都有0)(xf成立，求a的取值范围．-5-湛江市第二中学第三次月考数学（理科）试卷答案一、选择题CCABADBD二、填空题9．3i10．85，1.611．312．32013．②、③、④14.相离．15.PQPB3．三、解答题17．解:用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且11(),()()23PAPBPC.------------------------------------------------------2分（1）至少有1人面试合格的概率是12271()1()()()1.2339PABCPAPBPC----------------------4分（2）的可能取值为0，1，2，3.----------------------------------------------------------5分∵(0)()()()PPABCPABCPABC＝()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC＝1121211224.2332332339---------------------------6分(1)()()()PPABCPABCPABC=()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC-6-=1211121224.2332332339--------------------------------7分1111(2)()()()().23318PPABCPAPBPC---------------------8分1111(3)()()()().23318PPABCPAPBPC----------------------9分∴的分布列是0123()P4949118118--------10分的期望4411130123.99181818E----------------------------------------12分18．（本题满分14分）解:（Ⅰ）连接1DO，如图，∵O、M分别是BD、11BD的中点，11BDDB是矩形，∴四边形1DOBM是平行四边形，∴1//DOBM．…………………………2分∵1DO平面1DAC，BM平面1DAC，∴//BM平面1DAC．…………………………4分（Ⅱ）连接1OB，∵正方形ABCD的边长为2，12BB，∴1122BD，12OB，12DO，则2221111OBDOBD，∴11OBDO．……………6分∵在长方体1111ABCDABCD中，ACBD，1ACDD，∴AC平面11BDDB，又1DO平面11BDDB，∴1ACDO，又1ACOBO，∴1DO平面1ABC．…………………………………………8分（Ⅲ）在平面1ABB中过点B作1BEAB于E，连结EC，∵CBAB，1CBBB，∴CB平面1ABB，又1AB平面1ABB，……………………………9分∴1CBAB，又1BEAB，且CBBEB，-7-∴1AB平面EBC，而EC平面EBC，………………………………10分∴1ABEC．∴BEC是二面角1BABC的平面角．…………………………12分在RtBEC中，233BE，2BC∴tan3BEC，60BEC，∴二面角1BABC的大小为60．………………………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1DO，则点(1,1,0)O、1(0,0,2)D，∴1(1,1,2)OD又点(2,2,0)B，(1,1,2)M，∴(1,1,2)BM∴1ODBM，且1OD与BM不共线，∴1//ODBM．又1DO平面1DAC，BM平面1DAC，∴//BM平面1DAC．…………………………………4分（Ⅱ）∵11(1,1,2)(1,1,2)0ODOB，1(1,1,2)(2,2,0)0ODAC∴11ODOB，1ODAC，即11ODOB，1ODAC，又1OBACO，∴1DO平面1ABC．…………………………………………8分（Ⅲ）∵CBAB，1CBBB，∴CB平面1ABB，∴(2,0,0)BC为平面1ABB的法向量．∵11ODOB，1ODAC，∴1(1,1,2)OD为平面1ABC的法向量．∴11cos,2BCOD，-8-∴BC与1OD的夹角为60，即二面角1BABC的大小为60．………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1BABC的大小为，1ABC在平面1ABB内的射影就是1ABB，根据射影面积公式可得11cosABBABCSS，11122ABBSABBB，111222ABCSACBO∴1121cos222ABBABCSS，∴二面角1BABC的大小为60…………14分19.解：(1)∵16,442aaan02qnna2…………2分∴nabn32log2＝5－n，bn＋1－bn＝－1，b1＝log216＝log224＝4，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列…………5分∴Sn＝n(9－n)2.…………7分(2)由(1)知Sn＝n(9－n)2，∴Snn＝9－n2.当n≤8时，Snn0；当n＝9时，Snn＝0；当n9时，Snn0.…………10分∴当n＝8或9时，S11＋S22＋S33＋…＋Snn＝18最大．…………13分故存在k∈N*，使得S11＋S22＋…＋Snnk对任意n∈N*恒成立，k的最小值为19.…………14分（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为)5(xky……………………7分由方程组2222221(54)5012520054(5)xykxkxkykx，得-9-依题意25520(1680)055kk，得…………9分当5555k时，设交点C),(),(2211yxDyx、，CD的中点为R),(00yx，则45252,4550222102221kkxxxkkxx.4520)54525()5(22200