湛江市徐闻中学2012届高三第四次月考试题(理)

1徐闻中学2012届高三第四次月考试题数学试题(理科）命题人：钟聘（本试卷共4页，20小题，满分150分。考试用时120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{24},{3782},PxxQxxx集合则QP（）（A）{34xx}（B）{34xx}（C）{24xx}（D）{2xx}2、与函数lg(1)10xy的图象相同的函数是（）A．21()1xyxB．1yxC．1yxD．211xyx3．在边长为1的等边ABC中，设,,BCaCAbABcabbcca，则（）．A．32B．0C．32D．34．设函数1()2fxxb，若a、b、c成等差（公差不为0），则()()fafc=（）A．2B．4C．bD．2b5．已知2103,sin0xdx若，则的值是（）A．56B．23C．2D．232或6、设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是（）A．若//,cb，则//bcB．若,//bbc，则//cC．若//,c，则cD．若//,cc，则7．如图，在正方体1AC中，过点A作平面1ABD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误．．的命题是（）Ａ．点H是1ABD△的垂心Ｂ．AH的延长线经过点1CＣ．AH垂直平面11CBDＤ．直线AH和1BB所成角为458．已知点(3,3)A，O是坐标原点，点(,)Pxy的坐标满足2303200xyxyy，设z为OA在OP上的投影，则z的取值范围是（）．A.[3,3]B.[3,3]C.[3,3]D.[3,3]二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知ABC中，1,2ab，45B，则角A等于_______10．如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为．11、规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即ababab，则函数()1fxx的值域是．12.已知函数32yaxbx，当1x时，有极大值3；则2ab=______________.13．函数11xxy的最大值是.14．已知定义在R上的偶函数()fx满足(2)()1fxfx对于xR恒成立，且()0fx，则2011f________；三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知集合25Axx，121Bxmxm.（1）当m=3时，求集合AB，BA；（2）若BA，求实数m的取值范围。16．（本小题满分12分）已知向量1(sin,)2mA与(3,sin3cos)nAA共线，其中A是ABC的内角。（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求ABC面积S的最大值．317（本小题满分12分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数t与商品单价的降低值x（单位：元，030x）的函数关系为：t=2kx.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？18．（本小题满分14分）如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，60,90,AC2CD．把ABD沿BD折起（如图二），使二面角CBDA的余弦值等于33．对于图二，完成以下各小题：（1）求,AC两点间的距离；（2）证明：AC平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知函数(afxxaxR),lngxx（1）求函数Fxfxgx的单调区间；（2）若关于x的方程[2]gxxfxex(e为自然对数的底数)只有一个实数根，求a的值．CBDA图1BCDA图2420．（本小题满分14分）设数列{}na满足：11a，*11(14124)()16nnnaaanN（1）求2a，3a；（2）令124nnba，求数列{}nb的通项公式；（3）已知1()63nnfnaa，求证：1(1)(2)()2fffn．参考答案一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案AAABBDDB二．填空题：共6小题，每小题5分，满分30分．9．3010．4:2:11、(1,)；12．－3，13．2；14、1三、解答题515.（本小题满分12分）解：（1）当m=3时，A=｛52|xx｝，B=｛54|xx｝∴AB=｛54|xx｝，AB=｛52|xx｝--------5分（2）当B=即m+12m-1时m2适合条件AB---------7分当B时由512212mmm得32m------------10分综上可得：若BA则实数m的取值范围（－，3】----12分16、（本题满分12分）解：17（本小题满分14分）解：（1）设商品降价x元，则每个星期多卖的商品数为2kx，若记商品在一个星期的获利为()fx，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)fxxkxxkx，又由已知条件，2242k·，于是有6k，所以32()61264329072[030]fxxxxx，，．（2）根据（1），我们有2()1825243218(2)(12)fxxxxx．当x变化时，()fx与()fx的变化如下表：x02，2(212)，121230，()fx006()fx减极小增极大减故12x时，()fx达到极大值．因为(0)9072f，(12)11664f，所以定价为301218元能使一个星期的商品销售利润最大．18、解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接CEAE,，由CDCBADAB,，得：BDCEBDAE,AEC就是二面角CBDA的平面角，33cosAEC……………2分在ACE中，2,6CEAEAECCEAECEAEACcos2222433262262AC…………4分（Ⅱ）由22BDADAC，2CDBCAC,222ABBCAC,222ADCDAC90ACDACB…………………………6分,ACBCACCD，又CCDBCAC平面BCD．…………………………8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知BD平面ACEBD平面ABD∴平面ACE平面ABD……………10分平面ACE平面AEABD，作CFAE交AE于F，则CF平面ABD，CAF就是AC与平面ABD所成的角，……………12分3sinsin3CECAFCAEAE．……………14分方法二：设点C到平面ABD的距离为h，∵BCDAABDCVV…………10分11112222sin602223232h233h………12分BCDA图27于是AC与平面ABD所成角的正弦为：33sinACh．……14分19．（本小题满分14分）解:函数lnaFxfxgxxxx的定义域为0,.∴'211aFxxx22xxax.①当140a,即14a时,得20xxa,则'0Fx.∴函数Fx在0,上单调递增.……2分②当140a,即14a时,令'0,Fx得20xxa,解得121141140,22aaxx.(ⅰ)若104a,则211402ax.∵0,x,∴'0Fx,∴函数Fx在0,上单调递增.……4分(ⅱ)若0a,则1140,2ax时,'0Fx;114,2ax时,'0Fx,∴函数Fx在区间1140,2a上单调递减,在区间114,2a上单调递增.综上所述,当0a时,函数Fx的单调递增区间为0,;------6分当0a时,函数Fx的单调递减区间为1140,2a,单调递增区间为114,2a.……8分(2)解:令lnxhxx,则'21lnxhxx.令'0hx,得xe.当0xe时,'0hx;当xe时,'0hx.∴函数hx在区间0,e上单调递增,在区间,e上单调递减.∴当xe时,函数hx取得最大值,其值为1hee.……10分8而函数2222mxxexaxeae,当xe时,函数mx取得最小值,其值为2meae.……12分∴当21aee,即21aee时,方程22gxfxex只有一个根.…14分法二：同理由111()1(1)(1)422nnnfn1211111(1)(1)112222nnnn11111111(1)(2)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2244222111(1)111(1)222nnnnfffn法三：可以先用数学归纳法证明加强不等式：22111111(1)(2)()(1)(1)(1)1()444444nnfffn92、解：,mn均为直线，其中,mn平行，,mn可以相交也可以异面，故A不正确；m，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D。3、解析：133cos1203()22abbccaab∴选A．7.【解析】因为三棱锥A—1ABD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面中心，A正确；平面1ABD∥平面11CBD，而AH垂直平面1ABD，所以AH垂直平面11CBD，C正确；根据对称性知B正确.选D.8、解析：||OAOPzOP=cosOAAOP=23cosAOP，∵5[,]66AOP，∴当6AOP时，max23cos6z=3，当56AOP时，min523cos6z=－3，∴z的取值范围是[3,3]．∴选B9.【解析】根据正弦定理,,sinsinabAB21sin12sin.22aBAb,30.abA10.【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为a则，长方体体积为3a，三棱柱体积为312a，四分之一圆柱的体积为314a，所以它们的体积之比为4:2:．12、解析：'232,yaxbx当1x时，'11|320,|3xxyabyab，即320,6,93ababab，∴2ab=-3.（也可上两式直接相减得到答案）13解析：11112xxxx．14．解析：）（）（，所以周期320114),()4(,)(1)2(ffTxfxfxfxf.令x=-1，111111311fffff（）（），（），（）（）．1018．方法三：以CACDCB,,所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系xyzC，则)0,2,0()0,0,0(),0,0,2(),2,0,0(DCBA．……10分设平面ABD的法向量为n),,(zyx，则n0AB，n0AD，022,022zyzx取1