湖南省长沙市南雅中学2012届高三入学考试模拟试卷（数学）

湖南省长沙市南雅中学2012届高三入学考试模拟试卷（数学）（试卷满分：150分考试试卷：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()sin()4fxx图像的对称轴．．．方程可以是A．2xB．4xC．2xD．4x2．设实数Ra且iia)(（其中i是虚数单位）为正实数，则a的值为A．-1B．0C．0或-1D．13．已知向量a、b满足6,8,ab且,abab则ab=A．10B．20C．21D．304．已知120201,cos15sin15MxdxN，由如右程序框图输出的SA.0B.12C.1D.325．给定下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④6．若不等式11xax对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是A.[-1,1]B.(1,1)C.(-2,2)D.[-2,2]7．如图，已知双曲线2213yx，,AC分别是虚轴的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则BDF的余弦值是A．77B．577C．714D．57148．定义方程()()fxfx的实数根x0叫做函数()fx的“新驻点”，如果函数()gxx，()ln(1)hxx，()cosxx（()x，）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是：A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分．（一）必做题（9～13题）9．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合)(BACU=。10．61()xx的展开式中的常数项是：。(请用数字作答)11．已知平面区域}1|),{(22yxyx，0(,)01xMxyyxy，若在区域上随机投一点P，则点P落在区域M的概率为：。12.已知△ABC三边长分别为1、2、a()aR其中，“△ABC为锐角三角形”的充要条件是：“a”。13.有以下命题：设12,,mnnnaaa是公差为d的等差数列{}na中任意m项，若12(*,)mnnnrppNrNrmmm且，则12mnnnpaaaradmm；特别地，当r=0时，称pa为12,,mnnnaaa的等差平均项。⑴已知等差数列{}na的通项公式为na=2n，根据上述命题，则131018,,,aaaa的等差平均项为：；⑵将上述真命题推广．．到各项为正实数的等比数列．．．．中：设12,,mnnnaaa是公比为q的等比数列{}na中任意m项，若12(*,)mnnnrppNrNrmmm且，则；特别地，当r=0时，称pa为12,,mnnnaaa的等比平均项。（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题）14．（优选法选做题）那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为（371）0C，培养时间在16小时以上，某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围固定在29~500C，精确度要求1C，用分数法安排实验，令第一试点在1t处，第二试点在2t处，则12tt=0C。15．（几何证明选讲）如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于,BC两点，2AC,120PAB，则圆O的面积为．16．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线1C的方程为24t4txy（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线2:cos1C与1C的交点之间的距离为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如右图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.⑴从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望；⑵根据频率分布直方图填写下面22列联表，并判断是否有95％的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关.18.一个几何体是由圆柱11ADDA和三棱锥EABC组合而成，点A、B、C在圆柱上底面圆O的圆周上，EAABC平面，ABAC，ABAC，其正视图、侧视图如图所示．⑴求证：ACBD；⑵求锐二面角ABDC的大小．19．已知椭圆222:133xyEaa的离心率12e.直线xt（0t）与曲线E交于不同的两点,MN,以线段MN为直径作圆C,圆心为C．⑴求椭圆E的方程；⑵若圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且ABC的面积为52，求圆C的标准方程.20.世界大学生运动会圣火台如图所示,圣火盆是半径为1m的圆,并通过三根长度相等的金属支架1PA、2PA、3PA（1A、2A、3A是圆上的三等分点）将其水平放置，另一根金属支架PQ垂直于地面，已知圣火盘的圆心O到地面的距离为3m，四根金属支架的总长度为ym.⑴设3()OPArad,请写出y关于的函数解析式,并写出函数的定义域;⑵试确定点P的位置,使四根金属支架的总长度最短.(参考数值:1cos3,其中1.23)21.定义：若数列nA满足21nnAA，则称数列nA为“平方数列”。已知数列na中，21a，点),(1nnaa在函数xxxf22)(2的图像上，其中n为正整数。⑴证明：数列12na是“平方数列”，且数列)12lg(na为等比数列。⑵设⑴中“平方数列”的前n项之积为nT，即12(21)(21)(21)nnTaaa，求数列na的通项及nT关于n的表达式。⑶记nanTbn12log，求数列nb的前n项之和nS，并求使4020nS的n的最小值。22.已知函数lnfxaxxx的图象在点ex（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．⑴求实数a的值；⑵若kZ，且1fxkx对任意1x恒成立，求k的最大值；⑶当4nm时，证明mnnmmnnm．参考答案一、选择题：DBACDBCD二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分．（一）必做题（9～13题）9．{3,5,8}10．-2011．1212.(3,5)13.16；12mrmmnnnpaaaaq（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题）14．7915．416．4三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.18.方法1：（1）证明：因为EAABC平面，CAABC平面，所以EAAC，即EDAC．又因为ACAB，ABEDA，所以AC平面EBD．因为BDEBD平面，所以ACBD．………………………………………5分（2）解：4BC，22ABAC．过点C作CHBD于点H，连接AH，由（1）知，ACBD，ACCHC，所以BD平面ACH．因为AH平面ACH，所以BDAH．所以AHC为二面角ABDC的平面角．由（1）知，AC平面ABD，AH平面ABD，AD1A11EBCOD所以ACAH，即△CAH为直角三角形．在Rt△BAD中，22AB，2AD，则2223BDABAD．由ABADBDAH，解得263AH．因为tan3ACAHCAH．所以AHC60．所以二面角ABDC的平面角大小为60．方法2：（2）解：设,,xyzn是平面BCD的法向量，因为0,4,0BC，所以0,0.BCDBnn即40,2220.yxyz取1z，则1,0,1n是平面BCD的一个法向量．由（1）知，ACBD，又ACAB，ABBDB，所以AC平面ABD．所以2,2,0AC是平面ABD的一个法向量．因为21cos,2222ACACACnnn，所以,60ACn．而,ACn等于二面角ABDC的平面角，所以二面角ABDC的平面角大小为60．……………………………………12分19．解：（1）∵椭圆222:133xyEaa的离心率12e,∴2312aa.解得2a.∴椭圆E的方程为22143xy．（2）依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．AD11A11EBCODxyz∴弦长22222123||221274tABrdtt．∴ABC的面积21512722Stt.517t或∴圆C的标准方程为22229569(1)()4728xyxy或．20.21.（Ⅰ）由条件an＋1＝2an2＋2an，得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．∴{bn}是“平方数列”．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2an+1＋1)lg(2an＋1)＝2．∴{lg(2an＋1)}为等比数列．（Ⅱ）∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2n－1lg5，∴2an＋1＝52n－1，∴an＝12(52n－1－1)．∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝lg5(1－2n)1－2＝(2n－1)lg5．∴Tn＝52n－1．（3）cn＝lgTnlg(2an＋1)＝(2n－1)lg52n－1lg5＝2n－12n－1＝2－12n－1，∴Sn＝2n－[1＋12＋122＋…＋12n－1]＝2n－1－12n1－12＝2n－2[1－12n]＝2n－2＋212n．由Sn＞4020得2n－2＋212n＞4020，n＋12n＞2011，当n≤2010时，n＋12n＜2011，当n≥2011时，n＋12n＞2011，∴n的最小值为2011．22.（1）解：因为lnfxaxxx，所以ln1fxax．因为函数lnfxaxxx的图像在点ex处的切线斜率为3，所以e3f，即lne13a．所以1a．（2）解：由（1）知，lnfxxxx，所以1fxkx对任意1x恒成立，即ln1xxxkx对任意1x恒成立．令ln1xxxgxx，[来源:Z.X.X.K]则2ln21xxgxx，令ln2hxxx1x，则1110xhxxx，所以函数hx在1,上单调递增．因为31ln30,422ln20hh，所以方程0hx在1,上存在唯一实根0x，且满足03,4x．当01()0xxhx时，，即()0gx，当0()0xxhx时，，即()0gx，所以函数ln1xxxgxx在01,x上单调递减，在0,x上单调递增．所以000000min001ln123,411xxxxgxgxxxx．所以0min3,4kgxx．故整数k的最大值是3．（3）证明1：由（2）知，