2011年高考一轮课时训练(理)3.1.4函数的单调性 (通用版)

第四节函数的单调性题号12345答案一、选择题1．(2009年顺德一中月考)已知f(x)＝3－ax－4a，x＜1，logax，x≥1，是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，3)C.35，3D．(1,3)2．(2010年湖北卷)若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)3．(2010年辽宁卷)设f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝fx＋3x＋4的所有x之和为()A．－3B．3C．－8D．84．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立，则a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[－2，＋∞)C.－52，＋∞D．(－3，＋∞)5．(2009年浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数二、填空题6．函数y＝x2＋2x－3的递减区间是________．7．如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1,0)上是增函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f13，f23，f(1)从小到大的排列是________．8．(2010年湖南卷)已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．(1)若a＞0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(]0，1上是减函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，当且仅当0x1时f(x)0，且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．10．(2009年珠海模拟)已知α，β是方程4x2－4tx－1＝0(t∈R)的两个实数根，函数f(x)＝2x－tx2＋1的定义域为[α，β]．(1)判断f(x)在[α，β]上的单调性，并证明你的结论；(2)设g(t)＝maxf(x)－minf(x)，求函数g(t)的最小值．参考答案1．解析：依题意，有a1且3－a0，解得1a3，又当x1时，(3－a)x－4a3－5a，当x≥1时，logax≥0，所以3－5a≤0解得a≥35，所以1a3，故选D.答案：D2．C3.C4．解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－a2.若－a2≥12，即a≤－1时，则f(x)在0，12上是减函数，应有f12≥0⇒－52≤a≤－1；若－a2≤0，即a≥0时，则f(x)在0，12上是增函数，应有f(0)＝10恒成立，故a≥0；若0－a212，即－1a0，则应有f－a2＝a24－a22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1a0.综上有a≥－52.故选C.答案：C5．解析：因为f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，对∀a∈R，f′(x)在(0，＋∞)正、负不确定，故A、B错误，而对C，当a＝0时，f(x)＝x2，显然成立，故选C.答案：C6．(－∞，－3)7．解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f13＝－f－13，f23＝－f－23，f(1)＝－f(－1)，又f(x)在[]－1，0上是增函数且－13－23－1，∴f－13f－23f(－1)，∴f13＜f23＜f(1)．答案：f13＜f23＜f(1)8．(1)－∞，3a(2)()－∞，0∪(]1，39．证明：(1)由f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，令x＝y＝0，得f(0)＝0，令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝fx－x1－x2＝f(0)＝0.∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减．令0x1x21，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝fx2－x11－x1x2，∵0x1x21，∴x2－x10,1－x1x20，∴x2－x11－x2x10，又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)0，∴x2－x11－x2x1，∴0x2－x11－x2x11，由题意知fx2－x11－x1x20，即f(x2)f(x1)．∴f(x)在(0,1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)＝0，∴f(x)在(－1,1)上为减函数．10．解析：(1)f(x)在[α，β]上为增函数∵f(x)＝2x－tx2＋1，∴f′(x)＝－2x2＋2tx＋2x2＋12，∵当x∈(α，β)时，4x2－4tx－10，∴当x∈(α，β)时，－2x2＋2tx＋120，∴当x∈(α，β)时，－2x2＋2tx＋20,∴f′(x)0，∴f(x)在[α，β]上单增．(2)由题意及(1)可知，f(x)max＝f(β)，f(x)min＝f(α)，∴g(t)＝f(β)－f(α)＝2β－tβ2＋1－2α－tα2＋1＝β－α[－2αβ＋tα＋β＋2]α2β2＋α2＋β2＋1∵α＋β＝t，αβ＝－14，∴β－α＝β＋α2－4αβ＝t2＋1，α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝t2＋12，∴g(t)＝8t2＋12t2＋516t2＋25，t∈R，令t2＋1＝U，则t2＝U2－1，U∈[1，＋∞)，∴g(t)＝8U2U2＋316U2＋9＝16U3＋24U16U2＋9，∵16U3＋24U16U2＋9′＝8()32U4＋6U2＋2716U2＋920，∴16U3＋24U16U2＋9在[1，＋∞)单调递增，∴当U＝1，t＝0时，g(t)min＝85.