2011年高考一轮课时训练(理)10.5曲线与方程及轨迹问题 (通用版)

第五节曲线与方程及轨迹问题一、选择题1．(2008年北京卷)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：把P到直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义．答案：D2．一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一分支C．圆D．椭圆答案：C3．已知|AB→|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP→＝13OA→＋23OB→，则动点P的轨迹方程是()A.x24＋y2＝1B．x2＋y24＝1C.x29＋y2＝1D．x2＋y29＝1答案：A4．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且12|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段答案：D5.设过点P()x，y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP→＝2PA→，且OQ→·AB→＝1，则P点的轨迹方程是()A．3x2＋32y2＝1()x0，y0B．3x2－32y2＝1()x0，y0C.32x2－3y2＝1()x0，y0D.32x2＋3y2＝1()x0，y0解析：由BP→＝2PA→及A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(32x,0)，B(0,3y)，AB→＝(－32x,3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q(－x，y)，OQ→＝(－x，y)，则OQ→·AB→＝－32x，3y·(－x，y)＝32x2＋3y2＝1(x0，y0)．答案：D二、填空题6．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹方程为：________.解析：设动点P的坐标为P(x，y)，由|PA|＝2|PB|⇒x＋22＋y2＝2x－12＋y2平方整理得：x2＋y2－4x＝0，故点P的轨迹方程是x2＋y2－4x＝0.答案：x2＋y2－4x＝07．一动圆与两圆⊙M：x2＋y2＝1和⊙N：x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为_____________________________________________________．答案：双曲线4(x＋2)2－415y2＝1的左支8．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________________________________________________．答案：x2＝2y－2三、解答题9.(2009年福建卷)已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l：x＝103分别交于M、N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值；(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．解析：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，∴a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M103，16k3，由y＝kx＋2x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.设S(x1，y1)，则(－2)·x1＝16k2－41＋4k2得x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2，即S2－8k21＋4k2，4k1＋4k2，又B(2,0)，由y＝－14kx－2x＝103得x＝103y＝－13k，∴N103，－13k，故|MN|＝16k3＋13k，又k＞0，∴|MN|＝16k3＋13k≥216k3·13k＝83.当且仅当16k3＝13k，即k＝14时等号成立．∴k＝14时，线段MN的长度取最小值83.(3)由(2)可知，当MN取最小值时，k＝14，此时BS的方程为x＋y－2＝0，S65，45，∴|BS|＝425，要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于15，只需T到直线BS的距离等于24，所以T在平行于BS且与BS距离等于24的直线l上．设直线l′：x＋y＋t＝0，则由|t＋2|2＝24，解得t＝－32或t＝－52.①当t＝－32时，由x24＋y2＝1x＋y－32＝0得5x2－12x＋5＝0，由于Δ＝44＞0，故l′与椭圆C有两个不同的支点；②当t＝－52时，由x24＋y2＝1x＋y－52＝0得5x2－20x＋21＝0，由于Δ＝－20＜0，故直线l′与椭圆没有交点．综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使△TSB的面积为15.10．(2009年安徽卷)点P(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，x0＝acosβ，y0＝bsinβ，0＜β＜π2.直线l2与直线l1：x0a2x＋y0b2y＝1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ.(1)证明：点P是椭圆x2a2＋y2b2＝1与直线l1的唯一交点；(2)证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．证明：(1)法一：由x0a2x＋y0b2y＝1得y＝b2a2y0(a2－x0x)，代入椭圆x2a2＋y2b2＝1，得1a2＋b2x20a4y20x2－2b2x0a2y0x＋b2y20－1＝0.将x0＝acosβy0＝bsinβ，代入上式，得x2－2acosβ·x＋a2cos2β＝0，从而x＝acosβ.因此，方程组x2a2＋y2b2＝1，x0a2x＋y0b2y＝1有唯一解x＝x0y＝y0，即直线l1与椭圆有唯一交点P.法二：显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acosβ1，bsinβ1)，0≤β1＜2π是椭圆与l1的交点，代入l1的方程cosβax＋sinβby＝1，得cosβcosβ1＋sinβsinβ1＝1，即cos(β－β1)＝1，β＝β1，故P与Q重合．法三：在第一象限内，由x2a2＋y2b2＝1可得y＝baa2－x2，y0＝baa2－x20，椭圆在点P处的切线斜率k＝y′(x0)＝－bx0aa2－x20＝－b2x0a2y0，切线方程为y＝－b2x0a2y0(x－x0)＋y0，即x0xa2＋y0yb2＝1.因此，l1就是椭圆在点P处的切线．根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点．(2)tanα＝y0x0＝batanβ，l1的斜率为－x0b2y0a2，l2的斜率为tanγ＝y0a2x0b2＝abtanβ，由此得tanαtanγ＝tan2β≠0，tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．