2011年高考一轮课时训练(理)16.1.3圆锥曲线性质的讨论 (通用版)

第三节圆锥曲线性质的讨论题号12345答案一、选择题1．若梯形所在的平面不与投射线平行，则经过平行投影的象是()A．梯形B．不是梯形的四边形C．线段D．梯形或线段2．如右图所示，有一个底面半径为2，高为6的圆柱形玻璃杯，装满了水，然后缓慢倾倒，当倒出13杯水后，此时水面形状如图，则此时水平面与杯子交面的曲线的离心率为()A.13B.23C.22D.233．如图甲所示是一个圆柱形纸筒ABCD被一个经过A，C的平面所截后剩下的部分，若从点A处将此部分剪开，则此部分对应的侧面展开图最可能是图乙中的()图甲图乙4．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，如果平面π与圆锥的交线为双曲线，则有()A．β＝π2B．β＞αC．β＝αD．β＜α5．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()A．内心的平行投影仍是内心B．重心的平行投影仍是重心C．垂心的平行投影仍是垂心D．外心的平行投影仍是外心二、填空题6．已知平面α及以下三个几何体：①长、宽、高皆不相等的长方体；②正四面体；③底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥．那么这三个几何体在平面α上的投影可以是正方形的几何体是________．7．半径为5的球被一个平面所截，得到的截线的周长为6π，则球心与截面的距离为________．8．某球的体积与其表面积在数值上是一样的，有一点P与球心的距离为5，过P作球的切线，则所有切点组成的图形是________，其周长为________．三、解答题9．在一个母线与轴线夹角为45°角的圆锥面S内有两个半径分别为1和3的内切球，求这两个球的球心间的距离．10．在一个底面半径为3，高为4的圆锥内有一半径为2的球，求球上的点与底面的距离的最大值．参考答案1．解析：在平行投影下，两平行线的投影是两平行线或一条直线(两线的投影重合)，故梯形的投影为梯形或线段．故选D.答案：D2．解析：当倒出13杯的水时，倒出的水应是圆柱EFCD的体积的一半，所以圆柱EFCD的体积应为一杯水的23，所以CF＝23×BC＝23×6＝4，又CD＝2×2＝4，所以∠DFC＝45°，这也是水面与轴线的夹角α＝45°，故离心率e＝cosα＝cos45°＝22.答案：C3．解析：考虑把剩下的部分补全为一个圆柱，圆柱的侧面展开图是一个矩形，则剪去的部分与剩下的部分的侧面展开图，应能拼成一个矩形，且形状与大小均一样，所以侧面展开图中截线的上下应对称．从这点上分析，可排除B，C，而A中在C处附近过于尖锐，而截线要围成一个椭圆，故在C处附近应较平缓，故选D.答案：D4．D5．解析：当三角形所在平面不与方向向量平行时，经投影后，各线段所成角会改变，原来垂直的，经投影后不再垂直，故C、D错，原三角形的内切圆经投影后会成为一个椭圆，故A错，而一线段的中点经投影后仍为投影的中点，故选B.答案：B6．①②③7．解析：球被平面所截，截线是圆，此圆的半径为3，所以球心与截面的距离d＝52－32＝4.答案：48．解析：设球的半径为R，则有43πR3＝4πR2⇒R＝3，∴P在球外，过P作球的切线，切点组成的图形是球的一个小圆，此小圆的半径为3×45＝125，∴周长为125×2π＝245π.答案：圆245π9．解析：如下图所示，分类讨论：(1)当两球在顶点S的同侧时，两球心的距离为32－2＝22；(2)当两球分别在顶点S的两侧时，两球心的距离为32＋2＝42.10．解析：欲使球上的点到底面的距离最远，则应尽量使球往顶点S靠，此时球应与圆锥的侧面相切，考虑如下图所示轴截面，则EF的长即为所求的最长距离，设球心为O，则设圆与侧棱的切点为C，OC⊥SB，∴△SOC∽△SBF，则OC∶FB＝SO∶SB，SB＝5，∴SO＝OC·SBFB＝2×53＝103，EF＝SF－SO＋OE＝4－103＋2＝83.即该球上的点与底面的距离的最大值为83.