福州闽清高中2015-2016年高二数学(理)期中考试试题及答案

2016届福建省闽清高级中学高二学年第一学期期中考试数学（文科）试卷教师版内容一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知z为复数，（1﹣i）2z=（1+i）3（i为虚数单位），则=()A．1+iB．﹣1+iC．1﹣iD．﹣1﹣iB考点：复数代数形式的乘除运算．专题：函数思想；数系的扩充和复数．分析：设z=a+bi，利用向量相等，列出方程组，求出a、b的值即可．解答：解：设z=a+bi，a、b∈R，∴（1﹣i）2（a+bi）=（1+i）3，即﹣2i（a+bi）=2i（1+i），∴﹣a﹣bi=1+i，即，解得a=﹣1，b=﹣1，∴z=﹣1﹣i，∴=﹣1+i．故选：B．点评：本题考查了复数的共轭复数以及复数相等的应用问题，也考查了复数的代数运算问题，是基础题目．2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：计算题；推理和证明．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解答：解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为()A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．解答：解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．点评：本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．4．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：由题意条件p：x≤1，写出其﹣p中x的范围，将条件q：，由分式不等式的解法解出x的范围，然后判断﹣p是q之间能否互推，从而进行判断；解答：解：∵条件p：x≤1，∴￢p：x＞1；∵条件q：，∴＜0，解得x＞1或x＜0，∵x＞1⇒x＞1或x＜0，反之则不能；∴﹣p⇒q，q推不出﹣p，∴﹣p是q的充分而不必要条件，故选A．点评：此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出﹣p和q，各自x的范围．5．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除考点：反证法与放缩法．专题：综合题．分析：“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除．解答：解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除，故选B．点评：本题考查用反证法证明命题，应假设命题的反面成立．6．已知a＜b＜|a|，则()A．＞B．ab＜1C．＞1D．a2＞b2考点：不等关系与不等式．分析：利用赋值法，排除错误选项，从而确定正确答案．解答：解：∵a＜b＜|a|，∴a＜0，b的正负不确定；若b=0，可排除A，C；若b=﹣1，a=﹣2，则ab=2＞1，故C错误；无论b＞0还是b＜0，b=0，D均成立．故选D．点评：利用赋值法排除错误选项，可以有效地简化解题过程．7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体得体积是()cm2．A．B．C．2D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=2，故几何体的体积V=Sh=，故选：B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值()x0123y﹣11m8A．4B．C．5D．6考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=3x﹣，代入样本中心点求出该数据的值．解答：解：由表中数据得：=，=，由于由最小二乘法求得回归方程=3x﹣，将=，=代入回归直线方程，得m=4．故选：A点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．9．在区间[﹣3，3]上任取一个数a，则圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点的概率为()A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点，可得0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4，结合在区间[﹣3，3]上任取一个数a，即可求出概率．解答：解：圆C1：x2+y2+4x﹣5=0可化为（x+2）2+y2=9，圆心为（﹣2，0），半径为3，圆C2：（x﹣a）2+y2=1，圆心为（a，0），半径为1，∵圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点，∴2≤|a+2|≤4，∴0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4，∵在区间[﹣3，3]上任取一个数a，∴0≤a≤2，∴所求概率为=．故选：B．点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及圆与圆有公共点的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．10．使不等式成立的正整数a的最大值是()A．10B．11C．12D．13考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：本题利用两边平方法比较大小，然后找到最大值．解答：解：∵∴∴a＜=12+2（）＜13故不等式成立的正整数a的最大值是12．故选：C点评：本题主要考查了比较大小的常用方法，两边平方法，属于基础题．11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=()A．B．C．D．考点：类比推理．专题：探究型．分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．解答：解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．12．函数f（x）的导函数为f′（x）且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，若0＜a＜b，则()A．b2f（a）＜a2f（b），b3f（a）＞a3f（b）B．b2f（a）＞a2f（b），b3f（a）＜a3f（b）C．b2f（a）＞a2f（b），b3f（a）＞a3f（b）D．b2f（a）＜a2f（b），b3f（a）＜a3f（b）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：令g（x）=，通过求导得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，求出g（a）＜g（b），令h（x）=，通过求导得函数h（x）在（0，+∞）单调递减，求出h（a）＞h（b），从而得到答案．解答：解：令g（x）=，则g′（x）=，∵2f（x）＜xf′（x），∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（a）＜g（b），即，∴b2f（a）＜a2f（b）；令h（x）=，则h′（x）=，∵xf′（x）＜3f（x），∴h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，+∞）单调递减，∴h（a）＞h（b），即：，∴b3f（a）＞a3f（b），故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．解答的关键是先得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性．本题的难点在于构造出合适的函数，题后应总结一下，为什么这样构造合理．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．定义运算x⊗y，若|m﹣1|⊗m=|m﹣1|，则m的取值范围是m≥．考点：绝对值不等式．专题：计算题；新定义．分析：由题意知，|m﹣1|⊗m的结果是取|m﹣1|和m中的较小者，故得到|m﹣1|和m的不等关系，最后解此绝对值不等式即得m的取值范围．解答：解：由题意得：|m﹣1|≤m，①∴m≥0，①式平方得：m2﹣2m+1≥m2，即：m≥．故答案为：m≥．点评：本小题主要考查绝对值不等式、函数的概念、绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．14．正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第6个等式中．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出结论．解答：解：①2+4=6；②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2×=2n2，当n=6时，等式的首项为2×36=72，所以72在第6个等式中，故答案为：6．点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．15．已知a，b都是正实数，函数y=2aex+b的图象过点（0，1），则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把点（0，1）代入函数关系式即可得出a，b的关系，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵函数y=2aex+b的图象过点（0，1），∴1=2a+b，∵a＞0，b＞0．∴==3+=，当且仅当，b=时取等号．故答案为．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．16．已知{an}满足a1=1，an+an+1=（）n（n∈N*），Sn=a1+a2•3+a3•32+…+an•3n﹣1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得4Sn﹣3nan=n．考点：类比推理．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先对Sn=a1+a2•3+a3•32+…+an•4n﹣1两边同乘以3，再相加，求出其和的