南昌市三校2016-2017学年高二下期末联考数学试题(文)含解析

南昌市三校联考（南昌一中、南昌十中、南铁一中）高二试卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A.B.-2C.D.2【答案】D【解析】为纯虚数,则.故选D.2.设集合（）A.{1，2，3}B.{4，5}C.{1，2，3，4，5}D.【答案】B【解析】.故选B.3.已知则是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】为全称命题，否定为特称，故有.故选C.4.“|x|2”是“x2－x－60”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】选A.|x|2⇒-2x2,x2-x-60⇒-2x3,{x|-2x2}⊆{x|-2x3}.5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】A.为奇函数，是增函数；满足...B.为奇函数，在和为增函数，不在定义域单增，不正确.C.为奇函数，但不是增函数；D.函数是减函数.故选A.6.某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为一平行六面体，侧面是边长分别为3、4的矩形，高即为底面边长3，所以。故本题正确答案为C。点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．7.函数的零点所在的一个区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】为增函数，.所以函数的零点所在的一个区间是.故选C.8.已知在x=0处取得最小值，则的最大值是（）A.4B.1C.3D.2【答案】D【解析】∵，当x⩽0时，f(x)的最小值为a2，当x0时，f(x)的最小值为2+a，...∵在x=0处取得最小值，∴a2a+2，∴−1⩽a⩽2，的最大值是2故选D.9.已知函数，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A.（0,2）B.（0,8）C.（2,8）D.（，0）【答案】B【解析】试题分析：当时，若x接近时，函数与均为负值，显然不成立，当时，因当时，若即时，结论显然成立．若时只要即，综上所述，考点：1、一元二次不等式的应用；2二次函数图像．【方法点晴】本题主要考查的是二次函数与一元二次不等式的应用，属于难题题，当时，显然不成立；当时，因为所以仅对对称轴进行分类讨论即可。10.函数与的图象所有交点的横坐标之和为（）A.0B.2C.4D.6【答案】C【解析】设P(x0,y0)是函数g(x)=|log2|x−1||的图象上任一点，则当x=2−x0时,y=|log2|(2−x0)−1||=|log2|x0−1||=y0∴点Q(2−x0,y0)也在函数g(x)=|log2|x−1||的图象上。由于点P、Q关于直线x=1对称，∴函数g(x)=|log2|x−1||的图象关于直线x=1对称。当x=1时,函数f(x)=cos(πx)=cosπ=−1∴函数f(x)=cos(πx)的图象关于直线x=1对称。∴函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象的交点关于直线x=1对称当1x2时,函数f(x)=cos(πx)单调递增,f(1)=−1,f(2)=1；而函数g(x)=|log2|x−1||=−log2(x−1)单调递减,g(2)=0，故在区间(1,2)内,函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象有且只一个交点；当2⩽x⩽3时,函数f(x)=cos(πx)单调递减,f(2)=1,f(3)=−1，而函数g(x)=|log2|x−1||=log2(x−1)单调递增,g(2)=0，故在区间(2,3)内,函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象有且只一个交点；当x3时,g(x)=|log2|x−1||=log2(x−1)1,而函数f(x)=cos(πx)⩽1，...故在区间(3,+∞)内,函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象无交点。综上所述,函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象共有4个交点，关于直线x=1对称，∴函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象所有交点的横坐标之和为4.故选C.11.设函数的定义域为,若函数满足条件：存在,使在上的值域是则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则t的范围是()A.B.D.【答案】A【解析】∵函数f(x)=f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”，且满足存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[]，∴f(x)在[a,b]上是增函数；∴，即，∴a,b是方程2x−+t=0的两个根，设m=,则m0,此时方程为m2−m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0t，∴满足条件t的范围是(0,)，故选：A.12.已知函数，若存在实数满足其中，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得：,因此，记,则是方程的两根，，故选B．考点：1、分段函数的解析式及对数函数的性质；2、韦达定理、不等式的性质及数形结合思想．【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及对数函数的性质、韦达定理及不等式的性质、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点．本题通过函数的图象，可以清晰的看出之间的关系，进而求出的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写答题卡中的横线上...13.若命题“存在实数x，使得x2＋(1－a)x＋10”是真命题，则实数a的取值范围是_________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】解：因为x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则说明不等式有解，那么判别式大于零可知实数a的范围是(-∞,-1)∪(3,+∞)14.设函数f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上，，其中，若，则=________.【答案】-10【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.15.棱长为1的正方体的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱、的中点，则直线EF被球O截得的线段长为_________【答案】【解析】略16.函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数；设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0；②；③f(1-x)=1-f(x)，则=_________【答案】【解析】∵f(0)=0,f(1−x)=1−f(x)，令x=1,则f(0)=1−f(1),解得f(1)=1，令x=,则f()=1−f(),解得：f()=.又∵f()=f(x)，∴f()=f(1)=,f()=f()=14,f()=f()=14，又由f(x)在[0,1]上为非减函数，故f()=，∴f()+f()=.故答案为：.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知a0，设命题p：函数y＝在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．【答案】(0,1]∪[4，＋∞)．【解析】试题分析：先解命题，再研究命题的关系，函数y=ax在R上单调递增，由指数函数的单调性解决；等式ax2-ax+1＞0对∀x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．试题解析：∵函数y＝在R上单调递增，∴p：a1.不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立，且a0，∴a2－4a0，解得0a4，∴q：0a4....∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真，q假时，，得a≥4.②当p假，q真时，，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．18.函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.【答案】（1）见解析；（2）a∈(－3,2).【解析】试题分析：（1）定义法：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1），由已知可判断其符号；（2）令m=n=1可求得f（2），进而可得f（1）=2，利用单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式．试题解析：(1)设x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)．∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2，即a∈(－3,2)．点睛：本题主要考查函数的性质，但是函数是抽象函数，需要采用赋值的手段进行研究，研究的方向即为利用单调性的定义证明，再由函数的单调性解自变量的不等式即可.19.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2．（1）求证：OM∥平面ABD（2）求证：平面DOM⊥平面ABC【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．（2）根据题中数据，算出DO=BD=2，OM=AB=2，从而得到OD2+OM2=8=DM2，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．试题解析：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．∵O为BD的中点，∴DO=BD=2．...∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=AB=2．因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3