2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升：（四） Word版含解析

课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1简单复合函数求导问题1．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于()A．0B．60C．－1D．－602．函数f(x)＝3x＋cos2x＋a2的导数为()A．3x－2sin2x＋2aB．3xln3－sin2xC．3x－2sin2xD．3xln3－2sin2x3．求下列函数的导数．(1)y＝ln(ex＋x2)；(2)y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x.题组2复合函数与导数运算法则的综合应用4．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x5．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－x2x＋5B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5C．2xln(2x＋5)D.x2x＋56．函数y＝sin2xcos3x的导数是________．7．已知f(x)＝eπxsinπx，求f′(x)及f′12.题组3复合函数导数的综合问题8．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是()A.5B．25C．35D．09．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克[能力提升综合练]1．函数y＝(2016－8x)3的导数y′＝()A．3(2016－8x)2B．－24xC．－24(2016－8x)2D．24(2016－8x2)2．函数y＝12(ex＋e－x)的导数是()A.12(ex－e－x)B.12(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－x3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－24．函数y＝lnex1＋ex在x＝0处的导数为________．5．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.6．f(x)＝ax2－1且f′(1)＝2，则a的值为________．7．求函数y＝asinx3＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．8．求曲线y＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线方程．答案题组1简单复合函数求导问题1．解析：选B∵f′(x)＝10·(1－2x3)9·(－6x2)，∴f′(1)＝60.2．解析：选Df′(x)＝(3x)′＋(cos2x)′＋(a2)′＝3xln3－2sin2x＋0＝3xln3－2sin2x.3．解：(1)令u＝ex＋x2，则y＝lnu.∴y′x＝y′u·u′x＝1u·(ex＋x2)′＝1ex＋x2·(ex＋2x)＝ex＋2xex＋x2.(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln10.(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－14(1－cos4x)＝34＋14cos4x.所以y′＝34＋14cos4x′＝－sin4x.题组2复合函数与导数运算法则的综合应用4．解析：选By′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.5．解析：选By′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·12x＋5·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.6．解析：∵y＝sin2xcos3x，∴y′＝(sin2x)′cos3x＋sin2x(cos3x)′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x.答案：2cos2xcos3x－3sin2xsin3x7．解：∵f(x)＝eπxsinπx，∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx＝πeπx(sinπx＋cosπx)．f′12＝πeπ2sinπ2＋cosπ2＝πeπ2.题组3复合函数导数的综合问题8．解析：选A设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝22x－1，∴y′|x＝x0＝22x0－1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5.9．解析：选DM′(t)＝－130ln2×M02－t30，由M′(30)＝－130ln2×M02－3030＝－10ln2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－t30，所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－6030＝600×14＝150(太贝克)．[能力提升综合练]1．解析：选Cy′＝3(2016－8x)2×(2016－8x)′＝3(2016－8x)2×(－8)＝－24(2016－8x)2.2．解析：选Ay′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．3．解析：选B设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有1x0＋a＝1，x0＋1＝lnx0＋a，由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.4．解析：y＝lnex1＋ex＝lnex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－ex1＋ex.当x＝0时，y′＝1－11＋1＝12.答案：125．解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.答案：26．解析：∵f(x)＝(ax2－1)12，∴f′(x)＝12(ax2－1)－12(ax2－1)′＝axax2－1.又f′(1)＝2，∴aa－1＝2，∴a＝2.答案：27．解：∵asinx3′＝acosx3·x3′＝a3cosx3，又(cos22x)′＝12＋12cos4x′＝12(－sin4x)×4＝－2sin4x，∴y＝asinx3＋bcos22x的导数为y′＝asinx3′＋b(cos22x)′＝a3cosx3－2bsin4x.8．解：∵y′＝(e2x·cos3x)′＝(e2x)′cos3x＋e2x·(cos3x)′＝e2x·(2x)′·cos3x＋e2x(－sin3x)·(3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，∴y′|x＝0＝2e0·cos0－3e0·sin0＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.