2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第1章 导数及其应用1.3.1 Word版含解

第一章1.31.3.1A级基础巩固一、选择题1．在下列结论中，正确的有导学号84624175(A)(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A．0个B．2个C．3个D．4个[解析]分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝1x(x0)，(3)y＝2x，(4)y＝x2，故选A．2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则导学号84624176(A)A．a≤0B．a1C．a2D．a≤13[解析]f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.3．(2017·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是导学号84624177(B)A．0B．1C．2D．3[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0x1，∴f′(x)＝2xln2＋3x20在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，f(0)f(1)0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是导学号84624178(B)A．y＝sinxB．y＝xe2C．y＝x3－xD．y＝lnx－x[解析]对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B．5．(2017·临沂高二检测)已知函数y＝f(x)的图象是如图四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是导学号84624179(B)[解析]由导函数图象可知函数在[－1,1]上为增函数，又因导函数值在[－1,0]递增，原函数在[－1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，原函数在[0,1]上切线的斜率递减，选B．6．若f(x)＝lnxx，eab，则导学号84624180(A)A．f(a)f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)f(b)D．f(a)f(b)1[解析]因为f′(x)＝1－lnxx2，∴当xe时，f′(x)0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，因为eab，所以f(a)f(b)．选A．二、填空题7．(2016·烟台高二检测)函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__(－∞，－1)__.导学号84624181[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－10，得x12，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．8．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__(－∞，0]__.导学号84624182[解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴a3≤1，f′1＝3×12－2a－3≥0，解得a≤0，故答案为(－∞，0]．三、解答题9．(2016·太原高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.导学号84624183(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)0，可得x－3或x13；令f′(x)0，可得－3x13.∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13)．10．(2017·长沙高二检测)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围.导学号84624184[解析]∵f(x)＝(x2－2ax)ex，∴f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0，解x1＝a－1－1＋a2，x2＝a－1＋1＋a2，其中x1x2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∵a≥0，∴x1－1，x2≥0.f(x)在区间(x1，x2)上单调递减，∴x2≥1，即a－1＋1＋a2≥1，∴a≥34.B级素养提升一、选择题1．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)0的解集是导学号84624185(D)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[解析]设F(x)＝f(x)g(x)，当x0时，∵f′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0.∴F(x)当x0时为增函数．∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)．故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝F(3)＝0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．故选D．2．设函数F(x)＝fxex是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则导学号84624186(C)A．f(2)e2f(0)，f(2017)e2017f(0)B．f(2)e2f(0)，f(2017)e2017f(0)C．f(2)e2f(0)，f(2017)e2017f(0)D．f(2)e2f(0)，f(2017)e2017f(0)[解析]∵函数F(x)＝fxex的导数f′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex0，∴函数F(x)＝fxex是定义在R上的减函数，∴F(2)F(0)，即f2e2f0e0，故有f(2)e2f(0)．同理可得f(2017)e2017f(0)．故选C．3．(2016·全国Ⅰ卷文，12)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是导学号84624187(C)A．[－1,1]B．[－1，13]C．[－13，13]D．[－1，－13][解析]函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－23cos2x＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，则g(t)＝－43t2＋at＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以g1＝－43＋a＋53≥0g－1＝－43－a＋53≥0，解得－13≤a≤13.故选C．二、填空题4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.导学号84624188(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为__{0}__．(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为__{a|a0}__．[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，∴3－2a3＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f′(x)0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有3－2a31，∴a0，∴a的取值集合为{a|a0}．三、解答题5．(2017·驻马店高二检测)已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.导学号84624189(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．[解析](1)因为f(x)＝(x2＋x－1)ex，所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e，所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.(2)f(x)＝(－x2＋x－1)ex，因为f′(x)＝－x(x＋1)ex，令f′(x)0，得x－1或x0；f′(x)0得－1x0.所以f(x)的减区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，增区间为(－1,0)．6．(2016·山师附中高二检测)已知函数f(x)＝alnx＋2a2x＋x(a0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直.导学号84624190(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)f′(x)＝ax－2a2x2＋1，∵f′(1)＝－2，∴2a2－a－3＝0，∵a0，∴a＝32.(2)f′(x)＝32x－92x2＋1＝2x2＋3x－92x2＝2x－3x＋32x2，∵当x∈(0，32)时，f′(x)0；当x∈(32，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)的单调递减区间为(0，32)，单调递增区间为(32，＋∞)．C级能力拔高(2016·广德高二检测)已知函数f(x)＝x2＋2alnx.导学号84624191(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝2x＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．[解析](1)f′(x)＝2x＋2ax＝2x2＋2ax，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．①当a≥0时，f′(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a0时f′(x)＝2x＋－ax－－ax.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减递增由表格可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，－a)；单调递增区间是(－a，＋∞)．(2)由g(x)＝2x＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－2x2＋2x＋2ax，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－2x2＋2x＋2ax≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x－x2，x∈[1,2]，则h′(x)＝－1x2－2x＝－(1x2＋2x)0，∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min＝h(2)＝－72，∴a≤－72，故a的取值范围为{a|a≤－72}．