2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第2章 推理与证明2.1.2 Word版含解析

第二章2.12.1.2A级基础巩固一、选择题1．(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的，其中大前提是导学号84624507(A)A．①B．②C．①②D．③[解析]根据三段论的定义，①为大前提，②为小前提，③为结论，故选A．2．(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于导学号84624508(A)A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理[解析]大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，故选A．3．(2017·崇仁县校级月考)有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在导学号84624509(A)A．大前提B．小前提C．结论D．以上都不是[解析]∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A．4．(2016·大同高二检测)函数y＝xcosx－sinx在下列哪个区间内是增函数导学号84624510(B)A．(π2，3π2)B．(π，2π)C．(3π2，5π2)D．(2π，3π)[解析]令y′＝x′cosx＋x(－sinx)－cosx＝－xsinx0.由选项知x0，sinx0.∴πx2π，故选B．5．(2016·三明高二检测)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝导学号84624511(D)A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[解析]观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D．6．(2016·锦州市高二检测)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是导学号84624512(A)A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理[解析]∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A．二、填空题7．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是__log2x－2≥0__.导学号84624513[解析]由三段论方法知应为log2x－2≥0.8．以下推理过程省略的大前提为：__若a≥b，则a＋c≥b＋c__.导学号84624514∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.[解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.三、解答题9．将下列演绎推理写成三段论的形式.导学号84624515(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．[解析](1)平行四边形的对角线互相平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形的对角线互相平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75是奇数小前提75不能被2整除结论10．(2016·南京高二检测)设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.导学号84624516[解析]因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac0，那么方程有两个相异实根．(大前提)Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋30，(小前提)所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．(结论)B级素养提升一、选择题1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x20恒成立，以上推理中导学号84624517(A)A．大前提错误B．小前提错误C．结论正确D．推理形式错误[解析]∵对于可导函数f(x)，若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．∴大前提错误，故选A．2．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号84624518(A)A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式[解析]选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．二、填空题3．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为__如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面__.导学号846245194．(2016·深圳高二检测)已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，则sin2α＋sin2β的取值范围为[0，54]∪{2}.导学号84624520[解析]由2sin2α＋sin2β＝3sinα得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα＝－(sinα－32)2＋94且sinα≥0，sin2α∈[0,1]．因为0≤sin2β≤1，sin2β＝3sinα－2sin2α，所以0≤3sinα－2sin2α≤1.解之得sinα＝1或0≤sinα≤12，令y＝sin2α＋sin2β，当sinα＝1时，y＝2.当0≤sinα≤12时，0≤y≤54.所以sin2α＋sin2β的取值范围是[0，54]∪{2}．三、解答题5．判断下列推理是否正确？为什么？导学号84624521①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．[解析]①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．6．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.导学号84624522(1)求证：|c|≤1.(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2.[证明](1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.(2)当a0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2.当a0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2.综上所述，－2≤g(x)≤2.C级能力拔高用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC中，AD，BE是高线，D、E为垂足，M为AB的中点.导学号84624523求证：ME＝MD．[证明]∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提)在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，(小前提)∴△ABD为直角三角形．(结论)同理△ABE也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)M是直角三角形ABD斜边AB上的中点，DM为中线，(小前提)∴DM＝12AB(结论)，同理EM＝12AB．∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提)又∵DM＝12AB，EM＝12AB(小前提)∴ME＝MD(结论)．