2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第2章 推理与证明2.3 Word版含解析

第二章2.3A级基础巩固一、选择题1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中导学号84624608(A)A．必须运用假设B．n可以部分地运用假设C．可不用假设D．应视情况灵活处理，A，B，C均可[解析]由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝13n(4n2－1)过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加的项为导学号84624609(D)A．(2k)2B．(2k＋3)2C．(2k＋2)2D．(2k＋1)2[解析]用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝13n(4n2－1)的过程中，第二步，假设n＝k时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝13k(4k2－1)，那么，当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝13k(4k2－1)＋(2k＋1)2，等式左边增加的项是(2k＋1)2，故选D．3．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法导学号84624610(D)A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D．4．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是导学号84624611(C)A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C．5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为导学号84624612(C)A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C．6．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝导学号84624613(D)A．26B．27C．28D．29[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题7．(2017·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③__(填上所有正确命题的序号)导学号84624614①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立；③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．[解析]由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，(否则n＝11也成立)．同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．所以③正确．故答案为③.8．(2016·九江高二检测)观察下列等式，照此规律，第n个等式为__n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2__.导学号846246151＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…[解析]将原等式变形如下：1＝1＝122＋3＋4＝9＝323＋4＋5＋6＋7＝25＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72…由图知，第n个等式的左边有2n－1项，第一个数是n，是2n－1个连续整数的和，则最后一个数为n＋(2n－1)－1＝3n－2，右边是左边项数2n－1的平方，故有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.三、解答题9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*).导学号84624616求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．[解析]由已知得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，可得结论成立．②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，bk＋1＝a2k＋1bk＝k＋12k＋22k＋12＝(k＋2)2.∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．10．(2017·汉阳期中)已知{fn(x)}满足f1(x)＝x1＋x2(x0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)).导学号84624617(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想．[解析](1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1x1＋f21x＝x1＋2x2，f3(x)＝f1[f2(x)]＝f2x1＋f22x＝x1＋3x2猜想：fn(x)＝x1＋nx2，(n∈N*)(2)下面用数学归纳法证明，fn(x)＝x1＋nx2(n∈N*)①当n＝1时，f1(x)＝x1＋x2，显然成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即fk(x)＝x1＋kx2，则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]＝x1＋kx21＋x1＋kx22＝x1＋k＋1x2，即对n＝k＋1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想fn(x)＝x1＋nx2对一切n∈N*都成立．B级素养提升一、选择题1．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想导学号84624618(D)A．n≥1时，2nn2B．n≥3时，2nn2C．n≥4时，2nn2D．n≥5时，2nn2[解析]当n＝1时，2112，即2nn2；当n＝2时，22＝22，即2n＝n2；当n＝3时，2332，即2nn2；当n＝4时，24＝42，即2n＝n2；当n＝5时，2552，即2nn2；当n＝6时，2662，即2nn2；…猜想当n≥5时，2nn2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，(1)当n＝5时，由以上可知猜想成立，(2)设n＝k(k≥5)时，命题成立，即2kk2，当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k2k2＝k2＋k2k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2，即n＝k＋1时，命题成立，由(1)和(2)可得n≥5时，2nn2；故当n＝2或4时，2n＝n2；n＝3时，2nn2；n＝1及n取大于4的正整数时，都有2nn2.故选D．2．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开导学号84624619(A)A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空题3．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为__当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立__.导学号84624620[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．4．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝__5__.导学号84624621[解析]当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.三、解答题5．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点.导学号84624622求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．[证明](1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝k＋12＋k＋1＋22块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．6．(1)用数学归纳法证明：导学号8462462312－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·nn＋12(n∈N*)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[解析](1)①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×1＋12＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·kk＋12.则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·kk＋12＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·k＋1－k2＝(－1)k·k＋1[k＋1＋1]2.∴当n＝k＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．(2)①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．C级能力拔高已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项的和S10＝185，导学号84624624(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和An；(3)设Bn＝n(5＋3an)，试比较An和Bn的大小，并说明理由．[解析](1)设公差为d，由题意得a1＝8－d185＝10a1＋45d，解得d＝3，a1＝5.∴an＝5＋3×(n－1)＝3n＋2.(2)设新数列为{bn}，∴bn＝a2n＝3×2n＋2.∴An＝3×(2＋22＋23＋…＋2n)＋2n＝3×2n＋1＋2n－6.(3)∵Bn＝n(9n＋11)＝9n2＋11n，∴A1＝3×4－4－8，A2＝3×8－2＝22，A3＝3×16＝48，A4＝3×32＋2＝98，A5＝3×64＋4＝196，A6＝3×128＋6＝390，A7＝3×256＋8＝776，……而B1＝20，B2＝58，B3＝114，B4＝188，