2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2 Wo

第三章3.13.1.2A级基础巩固一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是导学号84624732(C)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C．2．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于导学号84624733(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]z＝sin2＋icos2对应的点为(sin2，cos2)∵sin20，cos20，故对应点位于第四象限．3．(2016·黄山高二检测)设i是虚数单位，若z＝cosθ＋isinθ对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于导学号84624734(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]z＝cosθ＋isinθ对应点在第二象限，cosθ0，sinθ0，∴θ为第二象限角，故选B．4．设O为原点，向量OA→，OB→对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量BA→对应的复数为导学号84624735(D)A．－1＋iB．1－iC．－5－5iD．5＋5i[解析]由题意知，OA→＝(2,3)，OB→＝(－3，－2)∴BA→＝OA→－OB→＝(5,5)，∴对应的复数为5＋5i，故选D．5．(2016·烟台高二检测)过原点和3－i对应点的直线的倾斜角是导学号84624736(D)A．π6B．－π6C．2π3D．5π6[解析]3－i在复平面对应的点为(3，－1)，∴倾斜角的斜率为k＝－33，∴倾斜角为－π6或56π.又∵倾斜角范围为[0，π]，∴倾斜角为56π，故选D．6．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝导学号84624737(B)A．1B．2C．3D．2[解析]因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B．二、填空题7．(湖北高考)i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝__－2＋3i__.导学号84624738[解析]∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i.8．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为__5__.导学号84624739[解析]复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得－1－－51－3＝a－－1－2－1.解得a＝5.三、解答题9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：导学号84624740(1)对应点在x轴上方；(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．[解析](1)由m2－2m－150，得知m－3或m5时，z的对应点在x轴上方；(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：m＝－3－414或m＝－3＋414，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．10．(2016·合肥高二检测)已知O为坐标原点，OZ1→对应的复数为－3＋4i，OZ2→对应的复数为2a＋i(a∈R)．若OZ1→与OZ2→共线，求a的值.导学号84624741[解析]因为OZ1→对应的复数为－3＋4i，OZ2→对应的复数为2a＋i，所以OZ1→＝(－3,4)，OZ2→＝(2a,1)．因为OZ1→与OZ2→共线，所以存在实数k使OZ2→＝kOZ1→，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以2a＝－3k，1＝4k，所以k＝14，a＝－38.即a的值为－38.B级素养提升一、选择题1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是导学号84624742(C)A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．2．下列命题中，假命题是导学号84624743(D)A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1z2的充要条件是|z1|＞|z2|[解析]①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a2＋b2≥0总成立．∴A正确；②由复数相等的条件z＝0⇔a＝0b＝0⇔|z|＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．二、填空题3．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x、y∈R)，则x＋y的值是__5__.导学号84624744[解析]由复数的几何意义可知，OC→＝xOA→＋yOB→，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，由复数相等可得，y－x＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4.∴x＋y＝5.4．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为12.导学号84624745[解析]由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，∴tanθ＝12.三、解答题5．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－12＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值.导学号84624746[解析]因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－12＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝(－12，m)．又a，b的夹角为60°，所以cos60°＝－3，0·－12，m－32＋02·－122＋m2，即12＝32314＋m2，解得m＝±32.6．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹.导学号84624747[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知x＝a＋3，y＝b－2，∴a＝x－3，b＝y＋2.①∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．C级能力拔高已知z∈C，|z－2i|＝2，当z取何值时，|z＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值.导学号84624748[解析]解法一：如图所示，|z－2i|＝2在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．|z＋2－4i|＝|z－(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M，N，使得M或N到定点P(－2,4)的距离最大或最小．显然过P与圆心连线交圆于M，N两点，则M，N即为所求．不难求得M(1,1)，N(－1,3)，即当z＝1＋i时，|z＋2－4i|有最大值，为32；当z＝1＋3i时，|z＋2－4i|有最小值，为2.解法二：如图所示，设ω＝z＋2－4i，则z＝ω－2＋4i，代入|z－2i|＝2得|ω－2＋2i|＝2，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，2为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最值．圆心与原点的连线交圆于M，N两点，则M(3，－3)，N(1，－1)即为所求．当ω＝3－3i，即z＝1＋i时，|ω|取最大值，为32；当ω＝1－i，即z＝－1＋3i时，|ω|取最小值，为2.