2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.3.2 Word版含解析

第一章1.31.3.2A级基础巩固一、选择题1．若(3x－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是导学号51124255(C)A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项[解析]令x＝1，得出(3x－1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；∴(3x－1x)8的展开式通项公式为：Tr＋1＝Cr8·(3x)8－r·(－1x)r＝(－1)r·38－r·Cr8·x4－r，令4－r＝0，解得r＝4.∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．2．若9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1是11的倍数，则自然数n为导学号51124256(A)A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数[解析]9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1＝19(9n＋1＋C1n＋19n＋…＋Cn－1n＋192＋Cnn＋19＋Cn＋1n＋1)－19＝19(9＋1)n＋1－19＝19(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，∴n为奇数．3．(2016·潍坊市五校联考)已知(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为导学号51124257(D)A．3B．4C．5D．6[解析]通项Tr＋1＝Crn(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，当r＝23n时为常数项，即(－1)23n＝15，经检验n＝6.4．若a为正实数，且(ax－1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为导学号51124258(D)A．1x2016B．－1x2016C．4032x2014D．－4032x2014[解析]由条件知，(a－1)2016＝1，∴a－1＝±1，∵a为正实数，∴a＝2.∴展开式的第2016项为：T2016＝C20152016·(2x)·(－1x)2015＝－2C12016·x－2014＝－4032x－2014，故选D．5．若二项式(2x＋ax)7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝导学号51124259(C)A．2B．54C．1D．24[解析]二项式(2x＋ax)7的通项公式为Tr＋1＝Cr7(2x)7－r(ax)r＝Cr727－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中1x3的系数是C5722a5＝84，解得a＝1.6．(2016·南安高二检测)233除以9的余数是导学号51124260(A)A．8B．4C．2D．1[解析]233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C111910＋C21199＋…＋C10119－1＝9(910－C11199＋…＋C1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A．二、填空题7．若x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，则n＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答).导学号51124261[解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·1x3r＝Cr5·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.8．已知(x－ax)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__.导学号51124262[解析]Tr＋1＝Cr8x8－r(－ax)r＝(－a)r·Cr8·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由条件知，a4C48＝1120，∴a＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(x＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝__3__.导学号51124263[解析]由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.三、解答题10．设(1－2x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017x2017(x∈R).导学号51124264(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2017|的值．[解析](1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2017＝32017②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2015＋a2017)＝－1－32017，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝－1＋320172.(3)∵Tr＋1＝Cr2017·12017－r·(－2x)r＝(－1)r·Cr2017·(2x)r，∴a2k－10(k∈N*)，a2k0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2017|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2016－a2017＝32017.B级素养提升一、选择题1．若n为正奇数，则7n＋C1n·7n－1＋C2n·7n－2＋…＋Cn－1n·7被9除所得的余数是导学号51124265(C)A．0B．2C．7D．8[解析]原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n·9n－1＋C2n·9n－2－…＋Cn－1n·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.2．(2016·上饶市高二检测)设函数f(x)＝(2x＋a)n，其中n＝6cosxdx，f′0f0＝－12，则f(x)的展开式中x4的系数为导学号51124266(B)A．－240B．240C．－60D．60[解析]∵n＝6cosxdx＝6sinxπ20＝6，∴f(x)＝(2x＋a)6，∴f′(x)＝12(2x＋a)5，∵f′0f0＝－12，∴12a5a6＝－12，∴a＝－1.∴f(x)＝(2x－1)6.其展开式的通项Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1)r＝(－1)rCr6·26－rx6－r，令6－r＝4得r＝2，∴f(x)展开式中x4的系数为(－1)2C26·24＝240，故选B．二、填空题3．观察下列等式：导学号51124267(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝nn＋12.[解析]观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝nn＋12.4．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，则导学号51124268(1)a8＋a7＋…＋a1＝__255__；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝__32896__.[解析]令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32896.三、解答题5．在(2x－3y)10的展开式中，求：导学号51124269(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．[解析]设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝1－5102；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1＋5102.6．在二项式(x＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.导学号51124270(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析](1)二项式(x＋12x)n的展开式中，前三项系数分别为1，n2，nn－18，再根据前三项系数成等差数列，可得n＝1＋nn－18，求得n＝8或n＝1(舍去)．故二项式(x＋12x)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8·2－r·x4－r.令4－r＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为T5＝C48·(12)4＝358.(2)设第r＋1项的系数最大，则由Cr8·12r≥Cr＋18·12r＋1Cr8·12r≥Cr－18·12r－1，求得2≤r≤3，因为r∈Z，所以r＝2或r＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T3＝7x2，T4＝7x.C级能力拔高(2016·江苏卷)(1)求7C36－4C47的值；导学号51124271(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋nCmn－1＋(n＋1)Cmn＝(m＋1)Cm＋2n＋2.[解析](1)7C36－4C47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0.(2)当n＝m时，结论显然成立．当nm时，(k＋1)Cmk＝k＋1·k！m！·k－m！＝(m＋1)．k＋1！m＋1！·[k＋1－m＋1]！＝(m＋1)Cm＋1k＋1，k＝m＋1，m＋2，…，n.又Cm＋1k＋1＋Cm＋2k＋1＝Cm＋2k＋2，所以(k＋1)Cmk＝(m＋1)(Cm＋2k＋2－Cm＋2k＋1)，k＝m＋1，m＋2，…，n.因此，(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋(n＋1)Cmn＝(m＋1)Cmm＋[(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋(n＋1)Cmn]＝(m＋1)Cm＋2m＋2＋(m＋1)[(Cm＋2m＋3－Cm＋2m＋2)＋(Cm＋2m＋4－Cm＋2m＋3)＋…＋(Cm＋2n＋2－Cm＋2n＋1)]＝(m＋1)Cm＋2n＋2.