2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第2章 随机变量及其分布2.3.2 Word版

第二章2.32.3.2A级基础巩固一、选择题1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为导学号51124541(C)A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8[解析]E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝12，n＝12，则P(X＝1)＝C112·12·(12)11＝3·2－10.2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是导学号51124542(D)A．0和1B．p和p2C．p和1－pD．p和(1－p)p[解析]由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．3．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m的值为导学号51124543(A)ξ1234P14mn112A．4760B．3760C．2760D．18[解析]∵E(η)＝E(10ξ＋2)＝10E(ξ)＋2＝20，∴E(ξ)＝1.8即：1×14＋2m＋3n＋4×112＝1.8，∴2m＋3n＝7360①又m＋n＝1－14－112＝23②由①②得，m＝4760.4．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如表一、表二所示．据此判定导学号51124544(B)表一ξ0123P0.700.20.1表二ξ0123P0.60.20.10.1A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定[解析]由分布列可求甲的次品数期望为E(ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E(η)＝0.7，进而得D(ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D(η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好．5．随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为导学号51124545(B)A．64B．256C．259D．320[解析]由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故选B．6．已知X的分布列如下表：X－1012Pabc518且a、b、c成等比数列，E(X)＝19，则a＝导学号51124546(C)A．16B．13C．12D．23[解析]由分布列的性质得a＋b＋c＝1318①∵E(X)＝19，∴－a＋c＋59＝19，∴a－c＝49，②又a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，③将②代入①、③得，2a＋b＝76，④b2＝aa－49.⑤由④得b＝76－2a，代入⑤得，a＝12或a＝4954，当a＝4954时，a＋518＝64540，不合题意舍去，∴a＝12.二、填空题7．(2016·海口高二检测)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＝2，则D(X)＝__1__.导学号51124547[解析]随机变量X服从二项分布X～B(4，p)，E(X)＝2，∴4p＝2，∴p＝12，∴D(X)＝4p(1－p)＝1，故答案为1.8．随机变量ξ的取值为0、1、2，若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝25.导学号51124548[解析]设ξ＝1的概率为p.则E(ξ)＝0×15＋1×p＋2(1－p－15)＝1，∴p＝35.故D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.9．(2016·枣庄市高二检测)抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B(n，12)，若P(ξ＝1)＝332，则方差D(ξ)＝32.导学号51124549[解析]∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B(n，12)，且P(ξ＝1)＝332，∴C1n·(12)n－1·(1－12)＝332，即n·(12)n＝664，解得n＝6，∴方差D(ξ)＝np(1－p)＝6×12×(1－12)＝32.三、解答题10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：导学号51124550环数5678910次数111124乙射击的概率分布如下表：环数78910概率0.20.3p0.1(1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；(2)比较甲、乙射击水平的优劣．[解析](1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4.设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则P(X1＝8)＝110＝0.1，P(X1＝9)＝210＝0.2，P(X1＝10)＝410＝0.4，P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，所以甲、乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.因为D(X1)D(X2)，所以乙比甲技术稳定．B级素养提升一、选择题1．(2016·泰安高二检测)设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝23，P(ξ＝x2)＝13，且x1x2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则x1＋x2的值为导学号51124551(C)A．53B．73C．3D．113[解析]由E(ξ)＝43，D(ξ)＝29得，23x1＋13x2＝43，x1－432·23＋x2－432·13＝29，解之得，x1＝53，x2＝23，或x1＝1，x2＝2.∵x1x2，∴x1＝1，x2＝2.∴x1＋x2＝3.2．随机变量X的分布列如下：X123P0.5xy若E(X)＝158，则D(X)等于导学号51124552(D)A．732B．932C．3364D．5564[解析]由题意知，1×0.5＋2x＋3y＝158，0.5＋x＋y＝1，∴x＝18，y＝38.∴D(X)＝(1－158)2×12＋(2－158)2×18＋(3－158)2×38＝5564.二、填空题3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：导学号51124553ξ4a9P0.50.1b已知E(ξ)＝6.3，随机变量η～B(a，b)，则D(η)＝__1.68__.[解析]由分布列的性质知b＝1－0.5－0.1＝0.4，∵E(ξ)＝4×0.5＋0.1×a＋9×0.4＝0.1a＋5.6＝6.3，∴a＝7，∵η～B(a，b)，即η～B(7,0.4)，∴D(η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68.4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是__10.5、10.5__.导学号51124554[解析]由题意得a＋b2＝10.5，∴a＋b＝21，x＝2＋3＋3＋7＋21＋13.7＋18.3＋20＋1210＝10，∴s2＝110[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a)2＋(10－b)2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]＝110[82＋72＋72＋32＋(10－a)2＋(10－b)2＋4＋3.72＋8.32＋102]＝110[(10－a)2＋(10－21＋a)2＋…]＝110[2(a－10.5)2＋…]当a＝10.5时，方差s最小，b＝10.5.三、解答题5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.导学号51124555(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．[解析](1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A－＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P(A－)＝C36C310＝16，所以P(A)＝1－P(A－)＝56.(2)X所有的可能取值为0、1、2、3.P(X＝0)＝C02·(35)0·(25)2·15＝4125；P(X＝1)＝C12·(35)1·(25)1·15＋C02(35)0·(25)2·45＝28125；P(X＝2)＝C22·(35)2·(25)0·15＋C12(35)1·(25)1·45＝57125；P(X＝3)＝C22·(35)2·(25)0·45＝36125.所以X的分布列为：X0123P4125281255712536125所以E(X)＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.6．(2016·山师附中高二检测)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表.导学号51124556(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．[解析](1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．(2)由已知可得X的可能取值分别为0、1、2、3，P(X＝0)＝C312C316＝1128，P(X＝1)＝C212·C14C316＝3370，P(X＝2)＝C112·C24C316＝970，P(X＝3)＝C34C316＝1140，∴X的分布列为：X0123P112833709701140(3)由已知得Y～B(3，14)，∴E(Y)＝np＝3×14＝34，∴含有一级运动员人数Y的期望为34.C级能力拔高下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.导学号51124557(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)[解析]设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)，根据题意，P(Ai)＝113，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(