2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.1 第2课时 Word版含

第一章1.1第2课时A级基础巩固一、选择题1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有导学号51124051(C)A．125个B．15个C．100个D．10个[解析]由题意可得a≠0，可分以下几类，第一类：b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；第二类：c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；第三类：b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的函数；第四类：b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数．由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N＝16＋16＋64＋4＝100(个)．故选C．2．(2016·无锡高二检测)体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有导学号51124052(B)A．8种B．10种C．12种D．16种[解析]首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．3．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为导学号51124053(A)A．18B．24C．60D．48[解析]根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人，担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案，故选A．4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是导学号51124054(D)A．49B．13C．29D．19[解析]本题考查计数原理与古典概型，∵两数之和为奇数，则两数一奇一偶，若个位数为奇数，则共有4×5＝20个数，若个位数为偶数，共有5×5＝25个数，其中个位为0的数共有5个，∴P＝520＋25＝19.5．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有导学号51124055(C)A．6种B．36种C．63种D．64种[解析]每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C．6．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为导学号51124056(D)A．3B．4C．6D．8[解析]当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为32时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．二、填空题7．(2016·温州高二检测)有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1、2、3、4四个数字，现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为364.导学号51124057[解析]本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a，b，c)来表示连续抛掷3次所得的3个数字，则该试验中共含4×4×4＝64个基本事件，取S＝a＋b＋c，事件“S恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则所求概率P＝364.8．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有__180__种.导学号51124058[解析]依次给区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ涂色分别有5、4、3、3种方法，根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法的种数为5×4×3×3＝180.9．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法__242__种.导学号51124059[解析]取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．三、解答题10．有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.导学号51124060(1)学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？(2)有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？[解析](1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个．∴甲有6种不同的获奖情况．(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有4×4×4＝64(种)．B级素养提升一、选择题1．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为导学号51124061(C)A．16B．18C．24D．32[解析]若将7个车位从左向右按1～7进行编号，则该3辆车有4种不同的停放方法：(1)停放在1～3号车位；(2)停放在5～7号车位；(3)停放在1、2、7号车位；(4)停放在1、6、7号车位．每一种停放方法均有6种，故共有24种不同的停放方法．2．先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为m、n，则mn是奇数的概率是导学号51124062(C)A．12B．13C．14D．16[解析]先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn是奇数，则m、n都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P＝936＝14.二、填空题3．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，向量a＝(m，n)和向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是512.导学号51124063[解析]cosθ＝a·b|a||b|＝m－n2·m2＋n2，∵θ∈(0，π2)，∴a·b0，ab.∴m－n0，m－n2m2＋2n21.∴mn，则m＝2时，n＝1；m＝3时，n＝1,2；m＝4时，n＝1,2,3；m＝5时，n＝1,2,3,4；m＝6时，n＝1,2,3,4,5.则这样的向量a共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，而第一次投掷骰子得到的点数m有6种情形，同样n也有6种情形，∴不同的向量a＝(m，n)，共有6×6＝36个，因此所求概率P＝1536＝512.4．从集合{1,2,3,4,5,6}中任取两个元素作为双曲线x2a2－y2b2＝1中的几何量a、b的值，则“双曲线渐近线的斜率k满足|k|≤1”的概率为12.导学号51124064[解析]所有可能取法有6×5＝30种，由|k|＝ba≤1知b≤a，满足此条件的有(2,1)，(3,2)，(3,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)共15种，∴所求概率P＝1530＝12.三、解答题5．(2016·杭州外国语学校检测)给出一个正五棱柱，用3种颜色给其10个顶点染色，要求各侧棱的两个端点不同色，有几种染色方案？导学号51124065[解析]分两步，先给上底面的5个顶点染色，每个顶点都有3种方法，共有35种方法，再给下底面的5个顶点染色，因为各侧棱两个端点不同色，所以每个顶点有2种方法，共有25种方法，根据分步乘法计数原理，共有35·25＝7776(种)染色方案．6．用1、2、3、4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.导学号51124066(1)写出这个数列的前11项；(2)这个数列共有多少项？(3)若an＝341，求n.[解析](1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个数，每个位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64项．(3)比an＝341小的数有两类：；.共有2×4×4＋1×3×4＝44项．∴n＝44＋1＝45(项)．C级能力拔高(2017·日照高二检测)用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.导学号51124067(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.[解析]完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①，②，③，④着色时各自的方法数，再由分步乘法计算原理确定总的着色方法数．(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．所以共有着色方法6×5×4×4＝480(种)．(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n－1)·(n－2)(n－3)，由n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，所以(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0.即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0.所以n2－3n－10＝0.所以n＝5.