2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：（六） Word版含解析

课时达标训练（六）[即时达标对点练]题组1椭圆的标准方程1．已知方程x2k－4＋y210－k＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(4，10)B．(7，10)C．(4，7)D．(4，＋∞)2．已知椭圆x2a2＋y22＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是()A.x24＋y22＝1B.x23＋y22＝1C．x2＋y22＝1D.x26＋y22＝13．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．题组2与椭圆有关的轨迹问题5．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是()A．4x2＋y2＝1B．x2＋y214＝1C.x24＋y2＝1D．x2＋y24＝16．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．题组3椭圆的定义及焦点三角形问题7．椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上．则sinA＋sinCsinB＝________．9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF1F2的面积为23，求点P坐标．[能力提升综合练]1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a0)，则点P的轨迹是()A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段2．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于()A.32B.3C.72D．43．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.x212＋y29＝1B.x212＋y29＝1或x29＋y212＝1C.x29＋y212＝1D.x248＋y245＝1或x245＋y248＝14．设F1，F2是椭圆C：x28＋y24＝1的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为()A．0B．2C．3D．45．F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是________．6．椭圆x225＋y29＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．8．已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．答案即时达标对点练1.解析：选B由题意知k－40，10－k0，k－410－k，解得7k10.2.解析：选D由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，∴a2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x26＋y22＝1，故选D.3.解析：椭圆的标准方程为x216＋y29＝1，∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．答案：(－7，0)，(7，0)4.解析：∵c＝23，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，b2＝4，a2＝16.又∵焦点在y轴上，∴标准方程为y216＋x24＝1.答案：y216＋x24＝15.解析：选A设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x02，y＝y0.∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x20＋y20＝1.①将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.6.解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，c＝4.但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．7.解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2面积最大，∴12×8b＝12，∴b＝3，又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.答案：x225＋y29＝18.解析：由椭圆方程x225＋y29＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4，0)和C(4，0)是椭圆的焦点．又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.于是，在△ABC中，由正弦定理，得sinA＋sinCsinB＝|BC|＋|BA||AC|＝54.答案：549.解：(1)由题意知，2c＝4，c＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，即2a＝8，∴a＝4.∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的方程为x216＋y212＝1.(2)设点P坐标为(x0，y0)，依题意知，12|F1F2||y0|＝23，∴|y0|＝3，y0＝±3.代入椭圆方程x2016＋y2012＝1，得x0＝±23，∴点P坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．能力提升综合练1.解析：选D∵a＋9a≥2a·9a＝6，当且仅当a＝9a，即a＝3时取等号，∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|6＝|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．2.解析：选A如图所示，由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝a2－b2＝3，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－3，y0)，代入x24＋y2＝1，得|y0|＝12，即|PF1|＝12，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|＝32.3.解析：选B由已知2c＝|F1F2|＝23，∴c＝3.∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，∴a＝23.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.4.解析：选B∵，∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c＝8－4＝2.∵b＝2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．5.解析：∵|OF2|＝c，∴由已知得3c24＝3，∴c2＝4，c＝2.设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，∴|x0|＝1，|y0|＝3，代入椭圆方程得1a2＋3b2＝1.∵a2＝b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，即b4＝12，∴b2＝23.答案：236.解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|＝12|MF2|＝4.答案：47.解：设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c0)．∵F1A⊥F2A，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.即F1(－5，0)，F2(5，0)．则2a＝|AF1|＋|AF2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.故所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.8.解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－3，0)，F2(3，0)．①在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°.②由①②得|PF1|·|PF2|＝43.所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝33.(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得即(－3－x，－y)·(3－x，－y)0.又y2＝1－x24，所以34x22，解得－263x263.所以点P横坐标的范围是－263，263.