20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（二） 导数的几何意义 Word版含解析

课时跟踪检测（二）导数的几何意义层级一学业水平达标1．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在解析：选Cf′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f(x)＝－2x在点M(1，－2)处的切线方程为()A．y＝－2x＋4B．y＝－2x－4C．y＝2x－4D．y＝2x＋4解析：选CΔyΔx＝－21＋Δx＋2Δx＝21＋Δx，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.3．曲线y＝13x3－2在点1，－53处切线的倾斜角为()A．1B.π4C.5π4D．－π4解析：选B∵y′＝limΔx→013x＋Δx3－2－13x3－2Δx＝limΔx→0x2＋xΔx＋13Δx2＝x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.12C．－12D．－1解析：选A∵y′|x＝1＝limΔx→0a1＋Δx2－a×12Δx＝limΔx→02aΔx＋aΔx2Δx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.5．过正弦曲线y＝sinx上的点π2，1的切线与y＝sinx的图象的交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选D由题意，y＝f(x)＝sinx，则f′π2＝limΔx→0sinπ2＋Δx－sinπ2Δx＝limΔx→0cosΔx－1Δx.当Δx→0时，cosΔx→1，∴f′π2＝0.∴曲线y＝sinx的切线方程为y＝1，且与y＝sinx的图象有无数个交点．6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f′(1)＝12，由点M在切线上得f(1)＝12×1＋2＝52，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：37．已知曲线f(x)＝x，g(x)＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为____________________．解析：由y＝xy＝1x，得x＝1，y＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f(x)＝x，得f′(x)＝lim△x→01＋Δx－1Δx＝limΔx→011＋Δx＋1＝12，∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝12(x－1)．即x－2y＋1＝0，答案：x－2y＋1＝08．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，f′(x0)＝limΔx→0x0＋Δx2－3x0＋Δx－x20＋3x0Δx＝limΔx→02x0Δx－3Δx＋Δx2Δx＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则y′|x＝x0＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点坐标为12，14，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为728.10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵ΔyΔx＝x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x30－2x20＋3Δx＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x20－4x0.∴当Δx→0时，ΔyΔx→3x20－4x0，即f′(x0)＝3x20－4x0，由导数的几何意义，得3x20－4x0＝4，解得x0＝－23或x0＝2.∴切点的坐标为－23，4927或(2,3)，当切点为－23，4927时，有4927＝4×－23＋a，∴a＝12127，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，当a＝12127时，切点为－23，4927；a＝－5时，切点为(2,3)．层级二应试能力达标1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)f′(xB)，选B.2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于()A．0B．2C．4D．6解析：选DΔy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.3．设f(x)存在导函数，且满足limΔx→0f1－f1－2Δx2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：选BlimΔx→0f1－f1－2Δx2Δx＝limΔx→0f1－2Δx－f1－2Δx＝f′(x)＝－1.4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为()A.13B.23C．－23D．－13解析：选D由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×ab＝－1，∴ab＝－13.5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知，limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝f′(1)＝kAB＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．解析：由导数的定义，得f′(0)＝limΔx→0fΔx－f0Δx＝limΔx→0aΔx2＋bΔx＋c－cΔx＝limΔx→0(a·Δx＋b)＝b.又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，则Δ＝b2－4ac≤0，a0，所以ac≥b24，所以c0.所以f1f′0＝a＋b＋cb≥b＋2acb≥2bb＝2.答案：27．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．解：∵f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0ax＋Δx2＋1－ax2＋1Δx＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.∵g′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bxΔx＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得a＝3，b＝3.8．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵ΔyΔx＝x＋Δx2＋1－x2－1Δx＝2x＋Δx，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．又∵切线过点(1，a)，且y0＝x20＋1，∴a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)，即x20－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．