20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（二十一） 复数代数形式的乘除运算 Wor

课时跟踪检测（二十一）复数代数形式的乘除运算层级一学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为()A．6－4iB．－6－4iC．6＋4iD．－6＋4i解析：选D(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.2．(全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i解析：选Cz－1＝1＋ii＝1－i，所以z＝2－i，故选C.3．(广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．2－3iB．2＋3iC．3＋2iD．3－2i解析：选A∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.4．(1＋i)20－(1－i)20的值是()A．－1024B．1024C．0D．512解析：选C(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且2＋ai1＋i＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D．4解析：选D2＋ai1＋i＝(2＋ai)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a＋22＋a－22i＝3＋i，所以a＋22＝3，a－22＝1，解得a＝4，故选D.6．(天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为________．解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以ab＝2.答案：27．设复数z＝1＋2i，则z2－2z＝________.解析：∵z＝1＋2i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(1＋2i－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3.答案：－38．若a1－i＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.解析：∵a，b∈R，且a1－i＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴a＝1－b，0＝1＋b.∴a＝2，b＝－1.∴|a＋bi|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝5.答案：59．计算：(i－2)(i－1)(1＋i)(i－1)＋i＋－3－2i2－3i.解：因为(i－2)(i－1)(1＋i)(i－1)＋i＝(i－2)(i－1)i2－1＋i＝(i－2)(i－1)－2＋i＝i－1，－3－2i2－3i＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i13＝－i，所以(i－2)(i－1)(1＋i)(i－1)＋i＋－3－2i2－3i＝i－1＋(－i)＝－1.10．已知z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有a2＋b2－3b＝1，－3a＝3，解得a＝－1，b＝0，或a＝－1，b＝3.所以z＝－1或z＝－1＋3i.层级二应试能力达标1．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D解析：选B设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＜0，b＞0，则z的共轭复数为a－bi，其中a＜0，－b＜0，故应为B点．2．设a是实数，且1＋ai1＋i∈R，则实数a＝()A．－1B．1C．2D．－2解析：选B因为1＋ai1＋i∈R，所以不妨设1＋ai1＋i＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，所以有x＝1，a＝x，所以a＝1.3．若a为正实数，i为虚数单位，a＋ii＝2，则a＝()A．2B.3C.2D．1解析：选B∵a＋ii＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴a＋ii＝|1－ai|＝1＋a2＝2，解得a＝3或a＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i的值是()A．0B．1C．iD．2i解析：选D原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i＋i＋25＝－12＋32i3－i＋i＝1－i＋i＝i(－i)i＋i＝2i.5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．解析：z1z2＝a＋2i3－4i＝(a＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a＋4ai＋6i－825＝(3a－8)＋(4a＋6)i25，∵z1z2为纯虚数，∴3a－8＝0，4a＋6≠0，∴a＝83.答案：836．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，∴a2－b2＝3，2ab＝4，解得a＝2，b＝1或a＝－2，b＝－1.∴|z|＝a2＋b2＝5.答案：57．设复数z＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z2＋az＜0，求纯虚数a.解：由z2＋az＜0可知z2＋az是实数且为负数．z＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m∈R且m≠0)，则z2＋az＝(1－i)2＋mi1－i＝－2i＋mi－m2＝－m2＋m2－2i＜0，∴－m2＜0，m2－2＝0，∴m＝4，∴a＝4i.8．复数z＝(1＋i)3(a＋bi)1－i且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．解：z＝(1＋i)2·(1＋i)1－i(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①∵复数0，z，z对应的点构成正三角形，∴|z－z|＝|z|.把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0.由①②得a＝－3，b＝－1.故所求值为a＝－3，b＝－1.