20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数 Word版含解析

课时跟踪检测（六）函数的极值与导数层级一学业水平达标1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析：选B根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选D由f′(x)＝－2x2＋1x＝1x1－2x＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：选B因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()解析：选C由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427，0B．0，427C．－427，0D．0，－427解析：选Af′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，3－2p－q＝0，1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝13或x＝1，易得当x＝13时f(x)取极大值427.当x＝1时f(x)取极小值0.6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝______________.解析：∵f′(x)＝ax＋2bx＋1，由题意得a＋2b＋1＝0，a2＋4b＋1＝0.∴a＝－23.答案：－237．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝1a处有极值，则b的值为________．解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝1a处有极值，∴f′1a＝2a·1a＋b＝0，即b＝－2.答案：－28.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x＝32时，函数f(x)取得最小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数值取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．答案：①9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减↘2(1－ln2＋a)单调递增↗故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)；且f(x)在x＝ln2处取得极小值．极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a)，无极大值．10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)知f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x－1或x1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.层级二应试能力达标1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－3解析：选A∵f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴3a＋b＝0，a＋b＝－2，∴a＝1，b＝－3.2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－3,6)C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选Cf′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)0，∴a－3或a6.3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a＜－1B．a＞－1C．a＜－1eD．a＞－1e解析：选A∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.4．已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2017π)，则函数f(x)的极大值之和为()A.e2π1－e2018πe2π－1B.eπ1－e2016π1－e2πC.eπ1－e1008π1－e2πD.eπ1－e1008π1－eπ解析：选Bf′(x)＝2exsinx，令f′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπx2kπ＋π时，f′(x)0，f(x)单调递增，当(2k－1)πx2kπ时，f′(x)0，f(x)单调递减，∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2017π)，∴0(2k＋1)π2017π，∴0≤k1008，k∈Z.∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2015π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2015π＝eπ[1－e2π1008]1－e2π＝eπ1－e2016π1－e2π，故选B.5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.答案：－196．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，则f′(－1)f′(1)0，即(1－a)(5－a)0，解得1a5，另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a的范围为[1,5)．答案：[1,5)7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)ex－12.令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．8．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．(1)求实数a的值．(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．解：(1)f′(x)＝2x＋a－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值，所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．(2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，则g′(x)＝2x＋2－2x－1＝－2xx＋52x＋2(x＞－2)．g(x)，g′(x)在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：x(－2,0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－g(x)2ln2＋b由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln2＋b.要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需g－1≤0，g0＞0，g1≤0，即b≤0，2ln2＋b＞0，2ln3－2＋b≤0，所以－2ln2＜b≤2－2ln3.故实数b的取值范围是(－2ln2,2－2ln3]．