20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例 Word版含

课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例层级一学业水平达标1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.203C．－1D．－8解析：选C瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.332cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2解析：选D设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，则S(x)＝12×x32×32＋12×12－x32×32＝342x29－8x3＋16，∴S′(x)＝3449x－83.令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，∴当x＝6时，S(x)最小．∴S＝342×19×62－83×6＋16＝23(cm2)．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝400x－12x20≤x≤400，80000x400，则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300解析：选D由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400，P′＝300－x，0≤x≤400，－100，x400，令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x400时，P′0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.4VB．23VC.34VD.12V解析：选C设底面边长为x，则高为h＝4V3x2，∴S表＝3×4V3x2×x＋2×34x2＝43Vx＋32x2，∴S表′＝－43Vx2＋3x，令S表′＝0，得x＝34V.经检验知，当x＝34V时，S表取得最小值．5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R解析：选C设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，V′＝43πRh－πh2.令V′＝0得h＝43R.当0h4R3时，V′0；当4R3h2R时，V′0.因此当h＝43R时，圆锥体积最大．故应选C.6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴当x＝10时，L有最大值45.6.答案：45.67．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C坐标为x2，0，点B坐标为x2，1－x24，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·1－x24＝－x34＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－34x2＋1＝0，得x1＝－23(舍)，x2＝23，∴x∈0，23时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，x∈23，2时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，当x＝23时，f(x)取最大值439.答案：4398．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x0)，y′＝250x－225x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′0，x∈(25，＋∞)时，y′0，所以x＝25时，y取最大值．答案：259．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N*)．(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．因为次品率p＝3x4x＋32，当每天生产x件时，有x·3x4x＋32件次品，有x1－3x4x＋32件正品．所以T＝200x1－3x4x＋32－100x·3x4x＋32＝25·64x－x2x＋8(x∈N*)．(2)T′＝－25·x＋32·x－16x＋82，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．当0x≤16时，T′≥0；当x≥16时，T′≤0；所以当x＝16时，T最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．层级二应试能力达标1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：选Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.所以当x＝9时，y取得最大值．2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.12πr2解析：选A设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝2πr1t＝2πr12r2－r21＝4πr1r2－r21.∴S＝4πr2r21－r41.令(r2r21－r41)′＝0得r1＝22r.此时S＝4π·22r·r2－22r2＝4π·22r·22r＝2πr2.3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为()A．80元B．85元C．90元D．95元解析：选B设每件商品定价x元，依题意可得利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝1702＝85.因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.R2和32RB.55R和455RC.45R和75RD．以上都不对解析：选B设矩形的宽为x，则长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0xR)，l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x1＝55R，x2＝－55R(舍去)．当0x55R时，l′0，当55RxR时，l′0，所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R，455R.5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝400x，∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝1600x＋4x，令f′(x)＝4－1600x2＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________m时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为32－x－12＝8＋2x－x2(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×34(8＋2x－x2)2＝332(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V＝13×332(8＋2x－x2)(x－1)＋332(8＋2x－x2)＝32(8＋2x－x2)[]x－1＋3＝32(16＋12x－x3)，V′＝32(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：27．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝－13x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当0≤x2时，g′(x)0；当2x≤3时，g′(x)0，∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝1128000x3－380x＋8(0x120)．(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解：(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10064＝2516小时，要耗油