上海市闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末定位考试卷（2011.1）

上海市闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末定位考试卷（2011.1）考生注意：1.本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3.本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本题满分50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．2)12(753limnnnCn．2．已知两条不同的直线nm、和平面．给出下面三个命题：①m，nnm//；②//m，//nnm//；③//m，nnm．其中真命题的序号有．（写出你认为所有真命题的序号）3．若复数z满足：izz2，izz，（i为虚数单位），则2z．4．设函数0,,0,121)(2xxxxfx　　与函数)(xg的图像关于直线xy对称，则当0x时，)(xg．5．如右图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则CAE的正切值为．6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段CD的中点，若aAC，bBD，则AE．（用a、b表示）7．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥V的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V的体积为．8．某班级在5人中选4人参加4×100米接力．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有种．（用数字作答）．9．若不等式02cbxax的解集为}21|{xx，则不等式||2xbcxba的解集为．10．设常数Ra，以方程20112||xax的根的可能个数为元素的集合A．二、选择题（本题满分15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥．设命题甲：“四棱锥ABCDP是等腰棱锥”；命题乙：“四棱锥ABCDP的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面”．那么，甲是乙的【】A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件12．函数323)arccos(sinxxy的值域是【】A．656，B．32,6C．320，D．650，13．某人从2010年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率%50.2保持不变，到2015年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为【】A.11314元B.53877元C.11597元D.63877元三、解答题（本题满分85分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知在平面直角坐标系xOy中，AOB三个顶点的直角坐标分别为)3,4(A，)0,0(O，)0,(bB．（1）若5b，求A2cos的值；（2）若AOB为锐角三角形，求b的取值范围．15．（满分15分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题9分．如图，在直角梯形ABCD中，90CB，2AB，22CD，1BC．将ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．（1）求该几何体的体积V；（2）设直角梯形ABCD绕底边AB所在的直线旋转角（),0('CBC）至''DABC，问：是否存在，使得''DCAD．若存在，求角的值，若不存在，请说明理由．16．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m万件与年促销费用x万元（0x）满足13xkm（k为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？（2）试将2011年该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数，并求2011年的最大利润．17．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．设)(xf为定义域为R的函数，对任意Rx，都满足：)1()1(xfxf，)1()1(xfxf，且当]1,0[x时，.33)(xxxf（1）请指出)(xf在区间]1,1[上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；（2）试证明)(xf是周期函数，并求其在区间)Z](2,12[kkk上的解析式．18．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．已知数列{na}和{nb}满足：对于任何*Nn，有nnnbba1，()1(12nnnbbb为非零常数），且2121bb，．（1）求数列{na}和{nb}的通项公式；（2）若3b是6b与9b的等差中项，试求的值，并研究：对任意的*Nn，nb是否一定能是数列{nb}中某两项（不同于nb）的等差中项，并证明你的结论．闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案2011.1一、1．2；2．①③；3．2；4．x；5．31；6．ba4143；7．315；8．24；9．}012|{xx；10．}3,2,1{.二、11．C．12．D．13．B.三、14．解：（1）【解一】)3,4(AO，)3,4(bAB，若5b，则)3,1(AB．……………………………………………………2分所以，1010||||cosABAOABAOA，…………………………………………………….2分所以，.541cos22cos2AA.……………………………………………………….2分【解二】)cos(2cosBAA.……………………………………………………….2分)cos(AOB.……………………………………………………….2分54cosAOB.…………………………………………………….2分综上所述，)425,4(b．..………………………………………………2分（2）【解一】若A为锐角，则0ABAO，即09164b，得425b．.….2分若B为锐角，则0BOBA，即0)4(bb，得0b或4b．……………….2分若O为锐角，则0OBOA，即04b，得0b．………………...………………..2分综上所述，)425,4(b．..……………………………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．15．解：（1）如图，作ABDE，则由已知，得22,1EBABAEDE，….2分所以，.3222212213122V………………….………………….4分（2）【解一】如图所示，以B为原点，分别以线段BC、BA所在的直线为x轴、z轴，通过B点，做垂直于平面ABCD的直线为y轴，建立空间直角坐标系．………………….1分由题意，得)2,0,0(A，)22,0,1(D，)0,sin,(cos'C，)22,sin,(cos'D，………2分)22,sin,(cos'AD，)22,sin,1(cos'DC若''DCAD，则021sin)1(coscos2，.…….…….…….…….…………..4分得23cos，与1cos1矛盾，…….…….…….…….………….…….…………..1分故，不存在，使得''DCAD．…….…….…….…….………….…….…………..1分【解二】取BA的中点E，连DE，EC'，则EDC'（或其补角）就是异面直线''DCAD与所成的角．…….…….…….…….………….…….……….…….………….…….…………..1分在EDC'中，26''ADEC，1CBDE，.cos22cos2112'CC.3分.cos225)cos211(212'22'CCDCDC.…….………….…………..2分02cos232cos''''22'2''DCECDCECDEECDCEDC，.…….….…….…………..2分故，不存在，使得''DCAD．…….…….…….…….………….…………..1分16．解：（1）由题意可知，当0x时，1m（万件），由13xkm可得2k．所以123xm．………………………………………………………………………….3分由题意，有2123xm，解得1x．所以，则该产品年促销费用最少是1万元．………………………………………….4分（2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1（元），所以，2011年的利润)168(]1685.1[xmmmmyxm84xx)123(8411628xx．……………………………………………….4分因为0x，8)1(116xx，所以2129829)]1(116[xxy，………………………………………4分当且仅当1116xx，即3x（万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分最大值为38、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分单调递增区间：];1,0[单调递减区间：]0,1[；...…………………………………………1分零点：0x．.…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[x时，.33)(xxxf设]1,0[21xx，，21xx，)3333()33()()(21212121xxxxxxxfxf)3311)(33(2121xxxx证明)(xf在区间]1,0[上是递增函数由于函数xy3是单调递增函数，且03x恒成立，所以03321xx，0331121xx，0)()(21xfxf所以，)(xf在区间]1,0[上是增函数．…………………………………………………….4分证明)(xf在区间]0,1[上是递减函数【证法一】因为)(xf在区间]1,1[上是偶函数．对于任取的]0,1[21xx，，21xx，有021xx0)()()()(2121xfxfxfxf所以，)(xf在区间]0,1[上是减函数．…………………………………………………..4分【证法二】设]0,1[x，由)(xf在区间]1,1[上是偶函数，得.33)()(xxxfxf以下用定义证明)(xf在区间]0,1[上是递减函数………………………………………..4分（2）设Rx，)(]1)1[(]1)1[()2(xfxfxfxf，所以，2是)(xf周期．……………………………………………………………4分当]2,12[kkx时，]1,0[2xk，所以.33)2()()(22kxxkxkfxfxf………………………………………….4分18．解：（1）【解一】由)0,2()1(11nbbbnnn得，)(11nnnnbbbb．又112