贵州省遵义市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第1页（共23页）2015-2016学年贵州省遵义市高三（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}，则M∩N（）A．{﹣1，0}B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅2．已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=（）A．B．C．4D．13．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ的值为（）A．B．C．D．5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2B．4C．6D．126．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15B．7C．8D．167．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，a，b∈{1，2，3，4}，则直线l1与直线l2没有公共点的概率为（）A．B．C．D．8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a的值为（）第2页（共23页）A．13B．12C．11D．109．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．过平面区域内一点作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则当α最小时，cosα的值为（）A．B．C．D．11．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，并满足：f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1）和f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），且+=，当数列{}的前n项和大于62时，n的最小值是（）A．9B．8C．7D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第3页（共23页）13．若a=x2dx，则二项式（a﹣）6的展开式中的常数项为．14．已知正方形ABCD的坐标分別是（﹣1，0），（0，1），（1，0），（0，﹣1），动点M满足：kMB•kMD=﹣，则动点M所在的轨迹方程为．15．设数列{an}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1﹣an}（n∈N*）是等差数列，则数列{an}的通项公式为．16．定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小，（2）若a=3，△ABC的面积为，求的值．18．某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]产品A81240328产品B71840296（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．20．如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；第4页（共23页）（Ⅱ）求的最大值．21．已知函数f（x）=cosx+﹣1，g（x）=eax．（Ⅰ）当x≥0时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意x≥0，不等式g（x）≥+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立；（Ⅲ）若不等式eax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形为边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于C，F，连接CF并延长交AB于点E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段EF的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C1的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C1交于A，B两点，点M的直角坐标为（2，1），若，求直线的普通方程．【选修4-5：不等式选讲】24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；第5页（共23页）（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．第6页（共23页）2015-2016学年贵州省遵义市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}，则M∩N（）A．{﹣1，0}B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，列举出N中的元素确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≤0，解得：﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，由题意得：N={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}，故选：A．2．已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=（）A．B．C．4D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求得z的值，可得，从而求得z•的值．【解答】解：z====﹣i，则=i，则则z•=1，故选：D．3．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），第7页（共23页）所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．4．函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ的值为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得实数φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）为偶函数，故+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，结合所给的选项，故选：D．5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2B．4C．6D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥高为2，底面为梯形，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是直角梯形，棱锥的高是2，∴V==4．故选B．6．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15B．7C．8D．16第8页（共23页）【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A7．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，a，b∈{1，2，3，4}，则直线l1与直线l2没有公共点的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是16，利用列举法写出满足条件的事件数，得到结果．【解答】解：直线l1的斜率，直线l2的斜率．a，b∈{1，2，3，4}的总事件数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种．若直线l1与直线l2没有公共点，则l1∥l2，即k1=k2，即b=2a．满足条件的实数对（a，b）有（1，2）、（2，4）、共2种情形．∴对应的概率P==．故选：C8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a的值为（）第9页（共23页）A．13B．12C．11D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=时，根据题意，求得此时k的值，应该满足条件k＞a，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1不满足条件k＞a，S=1+=2，k=2不满足条件k＞a，S=1++=2，k=3不满足条件k＞a，S=1++=2，k=4不满足条件k＞a，S=1+++=2﹣，k=5不满足条件k＞a，S=1++++=2，k=6不满足条件k＞a，S=1+++++=2﹣，k=8…最后一次循环，不满足条件k＞a，S=2﹣=，k=x+1满足条件k＞a，退出循环，输出S的值为．可解得：x=12，即由题意可得a的值为11．故选：C．9．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），第10页（共23页）∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．10．过平面区域内一点作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则当α最小时，cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到P，联立方程组求得P的坐标，进一步求出sin，代入二倍角余弦公式求得cosα的值．【解答】解：如图，联立，解得P（﹣4，﹣2