河北省邢台市2016届高三上期末数学试卷(理)含答案解析

第1页（共22页）2015-2016学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，集合B={x∈N|y=}，则A∩B=（）A．{3}B．{1，3}C．{1，2}D．{1，2，3}2．若z=1﹣2i，则复数﹣|z﹣1|在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若sinα=﹣，α为第三象限的角，则cos（）等于（）A．B．C．﹣D．4．某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是1分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟的概率为（）A．B．C．D．5．已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3，•=•，则•等于（）A．1B．2C．3D．46．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64B．73C．512D．5857．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第2页（共22页）A．B．C．D．8．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若=，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．9．若函数y=sinωx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，且区间[﹣，]上为增函数，则正整数ω的值为（）A．6B．7C．8D．910．（x2﹣x+ay）7的展开式中，x7y2的系数为﹣，则a等于（）A．﹣2B．C．±2D．±11．棱长为a的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是3，则a等于（）A．2B．C．2D．12．设函数f（x）=，若曲线y=sinx+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2﹣e﹣1]D．[0，e2+e+1]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数g（x）=sinx•log2（+x）为偶函数，则t=．第3页（共22页）14．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x2+y2的取值范围是．15．已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为．16．已知a，b，c是△ABC的三边，且b2﹣2a﹣b﹣2c=0，2a+b﹣2c+1=0，则△ABC的最大角的余弦值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）（22、23、24题任选一题作答，每题10分）17．已知等差数列{an}的前5项的和为55，且a6+a7=36．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列bn=，且数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜．18．近日有媒体在全国范围开展“2015年国人年度感受”的调查，在某城市广场有记者随机访问10个步行的路人，其年龄的茎叶图如下：（1）求这些路人年龄的中位数与方差；（2）若从40岁以上的路人中，随机抽取3人，其中50岁以上的路人数为X，求X的数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求AF与平面AEC所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，D为短轴上一个端点，且△DOF的内切圆的半径为，离心率e是方程2x2﹣5x+2=0的一个根．（1）求椭圆C的方程；第4页（共22页）（2）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C于M，N两点，是否存在常数λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，请求出λ；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=的最大值为1．（1）求实数a的值；（2）如果函数m（x），n（x）在公共定义域D上，满足m（x）＜n（x），那么就称n（x）为m（x）的“线上函数”，若p（x）=，q（x）=（x＞1），求证：q（x）是p（x）的“线上函数”．四、选择作答（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，作答时请写清题号，10分）选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．（1）若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=，=，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．已知直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，C：ρ2=．（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；（2）若P是椭圆C上的一个动点，求P到直线l距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k使﹣+≥恒成立，并求出k的最大值．第5页（共22页）2015-2016学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，集合B={x∈N|y=}，则A∩B=（）A．{3}B．{1，3}C．{1，2}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围，找出正整数解确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得：2＜x＜4，即A=（2，4），由B中y=，x∈N，得到3﹣x≥0，x∈N，解得：x≤3，x∈N，即B={0，1，2，3}，则A∩B={3}，故选：A．2．若z=1﹣2i，则复数﹣|z﹣1|在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、几何意义即可得出．【解答】解：∵z=1﹣2i，则复数﹣|z﹣1|=﹣|1﹣2i﹣1|=﹣2=﹣2=+i，在复平面上对应的点在第二象限．故选：B．3．若sinα=﹣，α为第三象限的角，则cos（）等于（）A．B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（）的值．【解答】解：∵sinα=﹣，α为第三象限的角，∴cosα=﹣=﹣，第6页（共22页）则cos（）=cosαcos﹣sinαsin=﹣•﹣（﹣）•=，故选为：D．4．某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是1分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟共包括三种情况，一是没有遇到红灯，二是遇到一次，三是遇到二次，分别求出三种情况的概率，然后代入互斥事件概率加法公式即可得到答案．【解答】解：设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min为事件A，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件Ak（k=0，1，2）．则由题意，得：P（A0）=（）3=，P（B1）=，P（B2）=．由于事件A等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B的概率为P（B0）+P（B1）+P（B2）=．故选：A．5．已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3，•=•，则•等于（）A．1B．2C．3D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到，从而得到m=，这样在△ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c=，从而有m=，然后进行数量积的计算便可求出的值．【解答】解：如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设AD=m；∵∠A=60°，∴由得：；∴；又BD=3，∴在△ABD中由余弦定理得：第7页（共22页）；∴，m=；∴．故选：C．6．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64B．73C．512D．585【考点】程序框图．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73．故选B．7．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第8页（共22页）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥，底面是底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为2．三棱锥的体积为：==．故选D．8．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若=，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再由向量共线的坐标表示，求出b，c与a的关系，即可求双曲线的离心率．【解答】解：设右焦点为F（c，0），过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线为：y=﹣x+c，渐近线的方程是：y=±x，由得：B（，），由得，C（，﹣），所以=（﹣c，）=（，），第9页（共22页）=（﹣，﹣﹣）=（，﹣），又=，即有=•，化简可得b=a，由a2+b2=c2得，a2=c2，所以e==．故选：A．9．若函数y=sinωx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，且区间[﹣，]上为增函数，则正整数ω的值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】正弦函数的图象．【分析】利用三角函数的图象和性质即可解答．【解答】解：函数y=sinωx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，∴三角函数的图象与性质可知：图象的周期的长度+个周期长度必须小于等于1；即：；解得：，由题意可知：ω只能取：8或9，又∵x∈[﹣，上为增函数．∴上为增函数．考查：ω=8和ω=9当ω=8时，使得函数区间[﹣，]上为增函数．故选：C．10．（x2﹣x+ay）7的展开式中，x7y2的系数为﹣，则a等于（）A．﹣2B．C．±2D．±【考点】二项式定理的应用．【分析】根据（x2﹣x﹣ay）7表示7个因式（x2﹣x﹣ay）的积，得出展开式中含x7y2项的系数由2个因式取y，其余的5个因式中有3个取x，有2个取x2，列出方程求出a的值．第10页（共22页）【解答】解：（x2﹣x+ay）7的展开式中，：（x2﹣x﹣ay）7表示7个因式（x2﹣x﹣ay）的积，故有2个因式取y，其余的5个因式中有3个取x，有2个取x2，可得出含x7y2项的系数；所以x7y2项的系数为•（﹣a）2••（﹣1）3•=﹣210a2=﹣，即a2=．∴a=±，故选：D．11．棱长为a的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是3，则a等于（）A．2B．C．2D．【考点】球内接多面体．【分析】将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD的面积．【解答】解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，已知正四面体棱长为a所以AD=a，AC=所以CD==a截面面积是：，∴a=2．故选：C．12．设函数f（x）=，若曲线y=sinx+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0成立，则实数a的取值范围