高二数学(3)

-1-高二数学同步测试（3）—平面和平面的位置关系YCY本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是（）A．垂直于同一平面的两平面平行B．垂直于同一直线的两平面平行C．与一直线成等角的两平面平行D．RtABC在平面的射影仍是一个直角，则ABC所在平面与平面平行2．ABCD是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形（）A．1B．2C．3D．43．已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：①若m、n∥,则m∥n；②若m∥、n∥,则∥；③若∩＝n，m∥n，则m∥，m∥；④若m⊥，m⊥，则∥．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．已知二面角α－AB－β的平面角为θ，α内一点C到β的距离为3，到棱AB的距离为4，则tanθ等于（）A．34B．35C．377D．775．下列命题：①若直线a//平面，平面⊥平面β，则⊥β;②平面⊥平面β，平面β⊥平面γ，则⊥γ；③直线a⊥平面，平面⊥平面β，则a//β；④平面//平面β，直线a平面，则a//β．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二面角α－AB－β的平面角为锐角，C是α内的一点（它不在棱AB上），点D是C在平面β内的射影，点E是AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么（）A．∠CEB∠DEBB．∠CEB∠DEBC．∠CEB=∠DEBD．无法确定7．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l，//l，,mm，那么必有（）A．,lmB．,//mC．//,mlmD．//,8．已知：矩形ADEF⊥矩形BCEF，记∠DBE＝α，∠DCE＝β，∠BDC＝θ，则（）-2-A．sinα＝sinβsinθB．sinβ＝sinαcosθC．cosα＝cosβcosθD．cosβ＝cosαcosθ9．若有平面与，且lPPl,,,，则下列命题中的假命题为（）A．过点P且垂直于的直线平行于B．过点P且垂直于l的平面垂直于C．过点P且垂直于的直线在内D．过点P且垂直于l的直线在内10．空间三条射线PA，PB，PC满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C的度数（）A．等于90°B．是小于120°的钝角C．是大于等于120°小于等于135°的钝角D．是大于135°小于等于150°的钝角第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果.11．如图所示，E、F、G是正方体ABCD－A1B1C1D1相应棱的中点，则（1）面EFG与面ABCD所成的角为；（2）面EFG与面ADD1A1所成的角为．12．斜线PA、PB于平面α分别成40°和60°，则∠APB的取值范围为13．在直角△ABC中，两直角边AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D，把这个Rt△ABC沿CD折成直二面角A－CD－B后，cos∠ACB＝．14．如图，两个矩形ABCD和ABEF中，AD＝AF＝1，DC＝EF＝23，则AB与CF所成角θ的大小范围是．三、解答题：本大题满分76分.15．（本小题满分12分）.//,,//,,,:bbaaba且且是异面直线已知求证：//．16．（本小题满分12分）正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1．（1）证明：面A′BD∥面B′CD′；（2）求点B′到面A′BD的距离．（14分）-3-17．（本小题满分12分）如图，平面α∥平面β，点A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且FDCFEBAE，求证：EF∥β.18．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.（1）求证：BC⊥AD；（2）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的平面角的取值范围；（3）求四面体ABCD的体积的最大值.19．（本小题满分14分）在长方体1111DCBAABCD中，11ADAA，底边AB上有且只有一点M使得平面DMD1平面MCD1.（1）求异面直线CC1与MD1的距离；（2）求二面角DCDM1的大小.-4-20．（本小题满分14分）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.（1）证明AD⊥D1F;（2）求AE与D1F所成的角;（3）证明面AED⊥面A1FD1;（4）111112EDAFVEDAFAA的体积，求三棱锥设．参考答案（三）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案BDBCAAAADB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）-5-FEBDA'A11．2arctan,2arctan12．]80,30[13．22baab14．]30,0[三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分)证明：过b上一点作平面与α相交于b′//,//,,,,//,,//,,//,//abababbbabbbbbb又相交与且是异面直线又16．(12分)（1）证明：∵A’D∥B’C，DB∥D’B’又∵A’D∩DB＝D，B’C∩D’B’＝B’∴面A’BD∥面B’CD’（2）解法一：易知B′到平面A′BD的距离d等于A到平面A′BD的距离，且△A′BD为等边三角形由''AABDAABDVV可知dSAASBDAABD3131解得2343,212BDSSBDAABD∴33d解法二：易知B′到面A′BD的距离d等于A到面A′BD的距离沿A′BD截下三棱锥A-A′BD，易知是一个正三棱锥过A作AF⊥A′BD，则AF即为A到平面A′BD的距离如右图，DE为A′B的中线，且F为△A′BD的中心36233232BDDEDF，222631()33AFADDF即A到平面A′BD的距离为33.17．(12分)证明：过A作AH∥CD交β于H，连结HD、HB、BD、AC.∵α∥β∴AH=CD∴四边形AHDC是平行四边形，∴AC∥HD,过F作FG∥HD交AH于G，连结GE∴AC∥GF∥HD∴GF∥β，∴GHAGFDCF,∵FDCFEBAE∴EBAEGHAG,∴EG∥BH∴EG∥β∵EG∩GF=G∴平面EGF∥β∵EF平面EGF∴EF∥β18．(12分)（1）证明：取BC中点O，连结AO、DO∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形∴AO⊥BC，DO⊥BC∴BC⊥平面AOD∵AD平面AOD∴BC⊥AD（2）解：由（1）知∠AOD为二面角A—BC—D的平面角，设∠AOD=θ,作DE⊥AO于E，由（1）知平面AOD⊥平面ABC，且平面AOD∩平面ABC=AO∴DE⊥平面ABC，DE为D到平面ABC的距离，又DO=23BD=23∴DE=DOsinθ=23sinθ∵DE≥3∴sinθ≥23∵θ∈(0,π)∴θ∈［32,3］（3）∵S△ABC=43×42=43∵DE=DOsinθ=23sinθ,θ∈［32,3］∴DE≤23,DE的最大值为23∵VD—ABC=31×S△ABC×DE=31×43×DEC'D'B'A'CDAB-6-∴当DE最大时，有VD—ABC=31×43×23=8∴四面体ABCD的体积的最大值为8.19．（14分）证明:(1)过D作MDDH1于H∵平面DMD1平面MCD1且平面DMD1平面MDMCD11∴DH平面MCD1∴MCDH又∵1DDMC∴MC平面DMD1∴DMMC又∵满足条件的M只有一个∴以CD为直径的圆必与AB相切，切点为M，M为的AB中点∴ADCD21∴2CD∵MC平面DMD1，∴MDMC1又∵MCCC1，所以MC为异面直线1CC与MD1的公垂线段CM的长度为所求距离2CM（2）取CD中点E，连结ME，则ME平面CDD1,过M作CDMF1于F，连结EF，则1CDEF,∴MFE为二面角DCDM1的平面角又∵1ME,530MF，在MEFRt中630sinMFMEMFE∴630arcsinMFE20．(14分)解法一:（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1.又D1F面DC1，∴AD⊥D1F.（2）取AB中点G,连结A1G，FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.（3）由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.（4）连结GE，GD1.∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1，∵AA1=2,面积S△A1GE=S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE=23又GEAFGFDAEEDAFVVV1111121FGSGEA13112233111EDAFV解法二：利用用向量求解解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），（1）∵)0,0,2(DA,)2,1,0(1FD，得DA01FD，∴AD⊥D1F;（2）又)1,2,0(AE，得||||cos11FDAEFDAE0||||01FDAE∴AE与D1F所成的角为90°（3）由题意：)0,0,2(11AD，设平面AED的法向量为)1,,(111yxn，设平面A1FD1的法向量为)1,,(222yxn，ABDA1D1B1C1CMEFH-7-由0011nAEnDA21011yx)1,21,0(1n由0021121nADnFD2022yx)1,2,0(2n得|||||||cos|2121nnnn0|||||110|21nn∴面AED⊥面A1FD1.（4）∵AA1=2，)1,1,2(EF，平面A1FD1的法向量为)1,2,0(2nFDDASFDA11121115，∴E到平面A1FD1的距离||||22nnEFd53，15533111EDAFV．EFABCDxyzA1B1C1D1E