教A版选修2-2导数及其应用单元检测

1导数及其应用单元检测一、选择题(10×5′=50′)1.已知f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f′(0)为()A.-5B.-5!C.0D.-12.以下四个关于复合函数如何复合而成的结论中，不正确的结论是()A.y=sin4(1+31x)是由y=u4u=sinvv=1+31x复合而成B.y=(3+4xm)n是由y=un,u=3+4xm复合而成C.y=log2(2x+1-1)是由y=log2uu=2vv=x+1复合而成D.y=Asin(ωx+φ)是由y=Asinuu=ωx+φ复合而成3.函数y=x2cosx的导数为()A.y′=2xcosx-x2sinxB.y′=2xcosx+x2sinxC.y′=x2cosx-2xsinxD.y′=xcosx-x2sinx4.函数y=xxsin的导数为()A.y′=2sincosxxxxB.y′=2sincosxxxxC.y′=2cossinxxxxD.y′=2cossinxxxx5.函数y=xxsin1的导数为()A.y′=xxxx2sincos)1(sinB.y′=xxxx2sincos)1(sinC.y′=xxxx2coscos)1(sinD.y′=xxxxxsincos)1(sin)1(6.函数y=xax22(a0)的导数为0，那么x等于()A.aB.±aC.-aD.a27.函数y=cos2x+sinx的导数为()A.-2sin2x+xx2cosB.2sin2x+xx2cosC.-2sin2x+xx2sinD.2sin2x-xx2cos8.已知y=21sin2x+sinx，那么y′是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数2C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数9.函数y=xxln的导数为()A.21lnxxB.21lnxxC.2lnxxxD.2ln1xx10.y=4lnx的导数为()A.x-1·4lnx·ln4B.x4lnx·ln4C.x·4lnxD.x-1·4lnx二、填空题（4×4′=16′）11.由函数f(x)=log2x,g(x)=3x,φ(x)=2x2+5构成的复合函数f［g(φ(x))］=.12.函数y=23x+2,那么y′=.13.y=cos(5ex)的导数为.14.y=xxee11的导数为.三、解答题（4×10′+14′=54′）15.求函数y=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)的导数.16.已知曲线216922yx,求过点M（3，4）切线的斜率.17.已知双曲线xy=a2,过其上任一点P作切线与x、y轴分别交于Q、R，试证：（１）P平分QR；（2）△OQR面积一定.18.圆柱形容器，其底面直径为2m,深度为1m,盛满液体后以0.01m3/s的速率放出，求液面高度的变化率.19.已知a为实常数，函数f(x)=ln(21x+x)+ax.(1)若a≥0,求证：函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)若a0，试求函数f(x)的单调递减区间.3导数单元检测参考答案一、选择题1.B由导数的定义，f′(0)=0limxxfxf)0()0(=0limxxfxf)0()(=0limxxxxxxxx0)5)(4)(3)(2)(1(=-5!.2.CC中函数y=log2(2x+1-1)是由y=log2uu=2v-1v=x+1复合而成的.3.Ay′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx.4.By′=22sincos)(sin)(sinxxxxxxxxx.5.Ay′=xxxxxxxxx22sincos)1(sin)(sin))(sin1(sin)1(.6.By′=2222222222222)()(xaxxxaxxaxxax由于y′=0,所以x2-a2=0,解得x=±a.7.Ay′=(cos2x)′+(sinx)′=(-sin2x)(2x)′+(cosx)(x)′=-2sin2x+xx2cos.8.B设原函数为f(x),则f(x)′=y′=x2sin21(sinx)′=21(cos2x)(2x)′+(sinx)′=cos2x+cosx.由于f(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),所以f(x)为偶函数.又由于y′=2cos2x-1+cosx=2cos2x+cosx-1,令t=cosx,所以y′=2t2+t-1,-1≤t≤1.所以y′max=2,y′min=-181,故选B.9.Dy′=222ln1lnln)(lnxxxxxxxxxxx.10.Ay′=(4lnx)′=4lnx·(ln4)·(lnx)′=4lnx(ln4)·x1.二、填空题11.log23252x∵g［φ(x)］=g(2x2+5)=3252xf［g(φ(x))］=f(3252x)=log23252x.412.3ln2·23x+2y′=23x+2ln2(3x+2)′=3ln2·23x+2.13.-5exsin(5ex)y′=-sin(5ex)·(5ex)′=-5exsin(5ex).14.-2ex(1+ex)-2y=1121)1(2xxxeeey′=22)1(20)1()1(2)1(12xxxxxeeeee.三、解答题15.解法一y′=(x-a)′［(x-b)(x-c)(x-d)］+(x-a)·［(x-b)(x-c)(x-d)］′=(x-b)(x-c)(x-d)+(x-a){(x-b)′(x-c)(x-d)+(x-b)［(x-c)(x-d)］′}=(x-b)(x-c)(x-d)+(x-a){(x-c)(x-d)+(x-b)·［(x-d)+(x-c)］}=(x-b)(x-c)(x-d)+(x-a)(x-c)(x-d)+(x-a)·(x-b)(x-d)+(x-a)(x-b)(x-c).解法二两边取自然对数得：lny=ln(x-a)+ln(x-b)+ln(x-c)+ln(x-d),两边取导数得dxcxbxaxyy1111.∴y′=(x-b)(x-c)(x-d)+(x-a)(x-c)(x-d)+(x-a)·(x-b)(x-d)+(x-a)(x-b)(x-c).16.解两边取关于x的导数得0216192yyx,∴y′=-yx916.从而过点M的切线斜率：k=y′43yx=-3443916.17.解如图所示，（1）设P(x1,y1)，则y1=12xa,又y′1xx=-212xa,故过点P121,xax的切线方程为y-)(121212xxxaxa，即y=-122122xaxxa令y=0,x=2x1,得Q(2x1,0);令x=0，得y=122xa,所以R122,0xa.RQ中点横坐标为11202xx,纵坐标为1212220xaxa,即为点P，故P点平分QR.(2)S△OQR=21|OQ|·|OR|=21|2x1|·122xa=2a2，为定值.18.解设液体放出ts后液面高度为y,则有π·12·y=π·12·1-0.01t从而y=1-01.0t,液面高度的变化率为:y′=-01.0.19.分析考查导数的概念和运算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，考查分类第17题图解5讨论的思想方法.解(1)∵21x|x|,∴原函数的定义域为R.f′(x)=.1111111)1(1)1(2222222axaxxxxaxxxaxxxx若a≥0，则f′(x)0恒成立，故f(x)在R上为增函数;(2)若a0时，f′(x)0x2221aa.①当a-1时，f′(x)0恒成立,故f(x)的单调递减区间为（-∞,+∞）;②当a=-1时,对x≠0,恒有f′(x)0,故f(x)在（-∞,0）上为减函数,在(0,+∞)上也为减函数，又函数f(x)在x=0处连续，故f(x)的单调减区间仍为(-∞,+∞);③当-1a0时，原函数的单调递减区间为(-∞,aa21),(-aa21,+∞).