定稿 09 12 8 14（理卷）答案 石景山区2009

高三数学（理科）试卷第1页（共8页）石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．题号12345678答案DDCCBCAB二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22()cossin2sincosfxxxxxcos2sin2xx………………………………4分2sin(2)4x………………………………6分所以函数()fx的最小正周期22T.…………………………8分（Ⅱ）44x，32444x，………………………………9分12sin(2)24x，………………………………11分∴当242x，即8x时，()fx有最大值2.…………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1n时，115aS，……………………………1分题号91011121314答案91428，614，132nan（nN）③④高三数学（理科）试卷第2页（共8页）当2n时，22137[(1)][(1)]22nnnaSSnnnn37(21)3222nn．……………………………2分又15a满足32nan，……………………………3分32()nannN．………………………………4分∵132[3(1)2]3nnaann(2,)nnN，∴数列na是以5为首项，3为公差的等差数列．………………5分（Ⅱ）由已知得2nanb()nN，………………………………6分∵+1+13+12==2=2=82nnnnaa-ananbb()nN，……………………7分又11232ab，∴数列}{nb是以32为首项，8为公比的等比数列.………………8分∴数列}{nb前n项和为32(18)32(81)187nn.……………9分（Ⅲ）91111()(27)(21)(21)(21)22121nnncaannnn……10分∴1111111[()()()]213352121nTnn11(1)22121nnn．……………………11分∵110(23)(21)nnTTnn()nN，∴nT单调递增．∴min11()3nTT．…………………12分高三数学（理科）试卷第3页（共8页）∴1357k，解得19k，因为k是正整数，∴max18k．………………13分17．（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：∵E，H分别是线段PA，AB的中点，∴EH//PB．………………………2分又∵EH平面EFH，PB平面EFH，∴PB//平面EFH．……………………………4分（Ⅱ）解：F为PD的中点，且PAAD，PDAF，又PA底面ABCD，BA底面ABCD，ABPA．又四边形ABCD为正方形，ABAD．又PAADA，AB平面PAD．……………………………………7分又PD平面PAD，ABPD．……………………………………8分又ABAFA，PD平面AHF．……………………………………9分（Ⅲ）PA平面ABCD，PA平面PAB，平面PAB平面ABCD，AD平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ADAB，AD平面PAB，E，F分别是线段PA，PD的中点，EF//AD，EF平面PAB．EH平面PAB，EA平面PAB，高三数学（理科）试卷第4页（共8页）EFEH，EFEA，……………………10分HEA就是二面角HEFA的平面角．……………………12分在RtHAE中，111,1,22AEPAAHAB45AEH，所以二面角HEFA的大小为45.………14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)ABCD,)2,0,0(P，)1,0,0(E，)1,1,0(F，(1,0,0)H.………………2分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB，(1,0,1)EH，∴2PBEH,∵PB平面EFH，且EH平面EFH，……………………4分∴PB//平面EFH.……………………5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD，(1,0,0)AH，(0,1,1)AF，……………………6分0021(2)10,0120(2)00.PDAFPDAH……………………8分,PDAFPDAH，又AFAHA，PD平面AHF.………………………9分（Ⅲ）设平面HEF的法向量为),,(zyxn,因为(0,1,0)EF，(1,0,1)EH，则0,0,nEFynEHxz取).1,0,1(n………………………………12分又因为平面AEF的法向量为),0,0,1(m高三数学（理科）试卷第5页（共8页）所以10012cos,,2||||212mnmnmn…………………13分,45,mn所以二面角HEFA的大小为45．…………………14分18．（本小题满分13分）解:(Ⅰ)从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有37C种选法.……………………………2分选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有34C种，………………………4分所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为353113734CCP.………………………5分（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m.……………………6分0X时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,所以,81212103003CXP……………………7分同理可得,8321212113CmXP……………………8分,83212121223CmXP…………………9分.81212130333CmXP…………………10分所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为：X0m2m3mP18383818于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是mmmmEX5.181383283810.……………………11分高三数学（理科）试卷第6页（共8页）（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5150m，所以100m.…………………12分故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利.……13分19．（本小题满分13分）解：设断面高为h，则222hdx．横梁的强度函数2()fxkxh，所以22()()fxkxdx，0xd．……………………………5分当0,xd时，令22()(3)0fxkdx．……………………………7分解得33xd（舍负）．……………………………8分当303xd时，()0fx；……………………………9分当33dxd时，()0fx．……………………………10分因此，函数()fx在定义域(0,)d内只有一个极大值点33xd．所以()fx在33xd处取最大值，就是横梁强度的最大值．……………12分即当断面的宽为33d时，横梁的强度最大．……………………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a时，()2fxx在[1,)上是单调增函数，符合题意．………1分当0a时，()yfx的对称轴方程为2xa，由于()yfx在[1,)上是单调增函数，所以21a，解得2a或0a，所以0a．……………………3分高三数学（理科）试卷第7页（共8页）当0a时，不符合题意．综上，a的取值范围是0a．……………………4分（Ⅱ）把方程()()(21)gxfxax整理为2(21)lnxaxax，即为方程2(12)0axaxlnx.……………………5分设2()(12)Hxaxaxlnx(0)x，原方程在区间(1,ee)内有且只有两个不相等的实数根,即为函数()Hx在区间(1,ee)内有且只有两个零点.……………………6分1()2(12)Hxaxax22(12)1(21)(1)axaxaxxxx…………………7分令()0Hx，因为0a，解得1x或12xa（舍）…………………8分当(0,1)x时,()0Hx,()Hx是减函数；当(1,)x时,()0Hx，()Hx是增函数.…………………10分()Hx在(1,ee)内有且只有两个不相等的零点,只需min1()0,()0,()0,HeHxHe…………………13分即2222212(12)10,(1)(12)10,(12)1(2)(1)0,aaaeaeeeeHaaaaeaeeeae∴22,211,1,2eeaeaeaee高三数学（理科）试卷第8页（共8页）解得2121eeae,所以a的取值范围是(21,21eee)．…………………14分注：若有其它解法，请酌情给分．