(完整版)泛函分析第6章广义函数与Sobolev空间简介

第;六章广义函数与Sobolev空间简介第六章广义函数与Sobolev空间简介函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。例6.1（脉冲）20世纪初，Heaviside在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。这套算法要求对如下函数10()00xhxx求导数，并把导数记为()x。但按照经典分析的理论，()hx并不可导，因此()x不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。但是，这个()x在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。例6.2（Dirac符号）在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))ixex，是实参数，并考虑如下形式的积分12ixedx这种积分按Cauchy积分来定义，即111sinlimlim22nixixnnnnedxedx显然，这个极限在普通意义下不存在。然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的()x，并认为是Dirac符号。特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于()x的运算法则，并广泛地使用。例6.3（广义微分）在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。20世纪30年代，Sobolev为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。20世纪40年代，Schwartz完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。6.1基本函数空间与广义函数6.1.1基本函数空间把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。对于欧氏空间12,(,,,)nnRxxxx表示nR中的点，范数1222212()nxxxx。设12,,,nppp为n个非负整数，有序数组12(,,,)npppp称为多重指标。应用泛函分析(第二版)12npppp。对于多重指标p，引进偏微分算子1212nppppnpDxxxnR是非空开集，是的闭包。()C表示在上定义的连续函数全体组成的线性空间。对于任何非负整数k，()kC表示全体在内由k次连续可微的偏导数，且在上的连续的函数组成的线性空间，特别0()()CC。设的支集是集合{:()0}xx在内的闭包，并记为sup{:()0}pxx。0()kC表示()kC中满足支集是内紧集（有界集）的所有函数组成的空间，000()()kkCC，即表示支集是内紧集的无穷次可微函数全体。显然，下面的包含关系成立10000()()()()kkCCCC例6.4设nR上定义的函数为2111()01xnCexjxx这里nC是依赖于维数n的常数，即nC＝21111xxedx那么()jx是无穷次连续可微的，且sup:1npjxRx，()1nRjxdx，因此0()()njxCR。从()jx出发，我们可以构造出许多0()nCR中的函数。下面我们来构造对任何非空开集，0()C中的函数。为此，对任意0，记1()()nxjxj，那么0()njCR【定理6.1】设()x是上定义的一个可积函数，并且在的一个紧集K外恒为零，第;六章广义函数与Sobolev空间简介则当0充分小时，可积函数()()()xyjxydy是0()C中的函数。证明：记:(,)nKxRdistxK，这里(,)distxK表示x到K的距离，当充分小时，K，当xK时，对一切yK均有xy，于是()0jxy。()()()()()0Kxyjxydyyjxydy因此suppK，而1011011lim()()()lim()()hhjxheyjxyydyxhjxheyydyx上式利用了微分中值定理，1(0,1),(1,0,,0)neR，又j是连续可微函数，因此存在0M使1()()njxMxRx应用Lebesgue控制收敛定理，得10111lim()()()()hjxheyydyxxjxyydyx由于0()njCR，对任何多重指标12(,,,)npppp重复上述过程，可得到()()ppDDjxyydy于是0()C。下面我们在0()C上引进收敛的概念。【定义6.1】设0()iC，0()C，如果满足下列条件：（1）存在一个紧集K，使得sup()(1,2,),sup()jpKjpK应用泛函分析(第二版)（2）对于任意多重指标12(,,,)npppp，函数列pjD在K上一致收敛于pD，即max()()0()ppjxKDxDxj则称i收敛于，记为Dj，而称0()C按照收敛概念及线性运算为基本函数空间，并记为()D，在明确时，可简写为D。根据D中收敛概念的定义，容易证明：（1）设j，jD；，D，如果,DDjj则对任何数,有Djj这说明D中的线性运算关于收敛概念是连续的。（2）对任一多重指标p，:pDDD这一线性映射是连续的，即,jDD则若Dj那么DppjDD。【定义6.2】称iD为Cauchy列，如果满足：（1）存在紧集K使sup1,2,;ipKj（2）对0，及多重指标p，存在自然数N，使当12,jjN时，有12maxppjjxKDxDx【定理6.2】D是完备的，即若iD是任意一个Cauchy列，则存在D，使得Dj。证明留作习题。第;六章广义函数与Sobolev空间简介6.1.2广义函数的基本概念【定义6.3】D上的一切线性连续泛函，称为广义函数，即D上的广义函数满足（1）线性：对任何数,及12,D有1212fff（2）连续：设,jDD，若Dj，则有jjffj一切广义函数所组成的集合，记作'D。例6.5函数，设nR是非空开集，a，对于任意D，定义aa则a是广义函数。证明：显然a是D上的线性泛函。设,jDD，若Dj，则更有0jaaj从而0ajajaaj即a在D上是连续的，所以a是一个广义函数，称a为集中在点a的Dirac广义函数，简称为函数。特别，当0,0,,0naR中零元素时，记为。例6.6设Rn是非空开集，fx是上定义的一个局部可积函数，即对于的任何紧子集K，积分Kfxdx通过局部可积函数f定义D上的泛函*ffxxdx（6.1）则*f是广义函数。证明：由于fx是局部可积的，那么对任何D，fxx在supp上可积，应用泛函分析(第二版)从而由式（6.1）定义的积分有意义。根据式（6.1），显然*f是线性的。设,jDD，且Dj，于是存在紧集K使supjpK，supKp，且j在K上一致收敛于。取常数0M，使supjxKxM，那么由Lebesgue控制收敛定理，有*jjjKKffxxdxfxxdxfxxdxfxxdxj即**jffj这说明*f连续，因此*f是D上的广义函数。记LOCL为上全体局部可积函数组成的集合，通过例6知道，每个fLOCL都对应一个广义函数*f，称这样的*f为函数型广义函数。【定理6.3】映射':LOCTLD定义为*Tff则T是一对一线性映射。由于证明较繁琐，这里略去。通过定理6.3，我们可以把局部可积函数f与由f定义的广义函数*f视为同一，这样局部可积函数是广义函数。例6.7考察在R上的函数0,0;10,xhxx通常称hx为Heaviside函数。显然，LOChLR，于是它定义DR上的广义函数*h为*0hhxxdxxdx是否每个广义函数都是函数型的，即对广义函数*'gD，是否存在局部可积函数f使*gfxxdx第;六章广义函数与Sobolev空间简介回答是否定的。也就是说'D中确实存在非函数型广义函数。例6.8a不是函数型的广义函数。证明：用反证法。设a是函数型的，则存在一个定义于上的局部可积函数f使得对一切D成立fxxdxa（6.2）取正数r充分小，使:rBaxxar，定义函数222,0\rarrrxBaexarxxBa显然，,arD，由式（6.2）得1,,ararfxxdxae（6.3）另一方面，,0lim0arrxae，由Lebesgue控制收敛定理，有,0lim0arrfxx（6.4）这样式（6.3）与式（6.4）矛盾，故不是函数型的。【定理6.4】'fD当且仅当对任意紧集K，存在常数C及非负整数m，使得当suppK时有suppxKpmfxCDD（6.5）证明：充分性。由式（6.5）知f是D上定义的连续性泛函，因此'fD。必要性。用反证法。若不然，有紧集K，使式（6.5）不成立。于是对任何自然数j，存在函数jD，且supjpK使suppjjxKpjfjDx（6.6）于是令ˆsupjjpjxKpjxjDx应用泛函分析(第二版)则ˆjD，且ˆsupjpK，再由式（6.6）可得ˆ1jf（6.7）又1ˆsuppjxKpjDxj因此，ˆj0D，于是ˆ0jff，这与式（6.7）矛盾。在广义函数空间'D上规定加法与数乘运算：设'12,,ffDR定义1212ffff11()ff则很容易证明''121,ffDfD，因此'D是一个线性空间。【定义6.4】设'',jfDfD，如果对于一切D成立limjjff则称jf在'D中收敛于f，记为jff。'D按照这种收敛概念，称为广义函数空间。容易证明，'D中加法与数乘运算关于收敛是连续的，即如果jff，jgg，则对任何数,有jjfgfg例6.9在R上，函数列1sin1,2,jjfxjx是LOCLR中的函数列，从而可视为广义函数列，那么jf。证明：由于sinxdxx，因此1sinlim1TTTjxdxx对任意DR，存在00T，使00sup,pTT