圆综合题-专题分类汇编(含答案)

圆综合题专题分类汇编一．垂径与等腰例1．如图，AB为⊙O的直径，C为弧AB上一点，D为弧AC的中点，DEAB于点E，交AC于点F．求证：（1）DFAF；（2）12DEAC．2．如图，已知BC为半圆O的直径，弧AB=弧AF，AC与BF交于点M．（1）若∠FBC=，求∠ACB（用表示）；（2）过A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM．3．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．FMEDOCBA4．如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．二．切线与等腰例2.如图：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过D作DF⊥AC于点F⑴求证：DF为⊙O的切线⑵若DE＝5，AB＝5，求AE的长2.如图AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E过D作DF⊥AC于F⑴求证：DF是⊙O的切线⑵若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长GOFEDCBA三．角平分线入圆例3．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB＝30°，求CE的长，2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知∠A＝30°，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．3．如图，AB是⊙O的直径，C，P是弧AB上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长；4．如图，已知AB为O的直径，过O上的点C的切线交AB的延长线于点E，ADEC于点D，且交O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BCCF；（2）求证：2AFDFAB．AOFDCEB四．双切线问题例4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和）2．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC．（1）猜想线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）求证：PC是⊙O的切线．五．多切线类例5．如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于D、E、F三点，AB=7，BC=12，CA=11．（1）求AF的长；（2）求⊙O的半径．OFEDCBA（1）设AF=x，∵△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于D、E、F三点，AB=7，BC=12，CA=11，∴AE=AF=x，BF=BD=AB-AF=7-x，CE=CD=AC-AE=11-x，∵BD+CD=BC，∴7-x+11-x=12，解得：x=3，∴AF=32．阅读材料：已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆⊙O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝12BC·r＋12AC·r＋12AB·r＝12（a＋b＋c）r∴r＝2Sabc．图1图2图3（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图2，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图3，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，⊙O1，与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求12rr的值．3．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF。（1）求证：OD∥BE；（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。六．内心及其应用例6．已知点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，AD、BC交于点F．（1）如图1，求证：DE＝DB；（2）如图2，若AD是△ABC外接圆的直径，G为AB上一点，且∠ADG＝12∠C，若BG＝3，AG＝5，求DE的长．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于D，连接BD、DC．（1）求证：BD=DC=DI；（2）若⊙O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．IDOCBA七．直角坐标系与圆例7．如图，已知点D的坐标为（0，1），⊙D交y轴于点A、B，交x轴于点C、E，过点C的直线y＝－22x－8与y轴交于点P．（1）试判断直线PC与⊙D的位置关系；（2）直线PC上是否存在点F，使得S△FOP＝4S△CDO?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图所示，在平面直角坐标系中，以点M(2，3)为圆心，5为半径的圆交x轴于A，B两点，过点M作x轴的垂线，垂足为D；过点B作⊙M的切线，与直线MD交于N点．(1)求点B，点N的坐标以及直线BN的解析式；(2)求过A，N，B三点(对称轴与y轴平行)的抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断点Q是否在(2)中的抛物线上．八．圆锥及其展开图例8．已知两个圆锥的母线长相等，若它们的侧面展开图恰好可接成一个圆，且两个圆锥的表面积之比为1：6．求这两个圆锥底面积半径的比．2.圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积.针对性练习：1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，求证：2CACBCD.ABCDO2.如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝120°，求：CACBCD.OACBD3.如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB＝90°，⑴求证：弧PA=弧PB；⑵求证：2ACBCPC.QPABCO4.如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠BCQ，∠ACB＝120°，求：BCACPC的值.QPABOC参考答案：例1证明：连接OD交AC于M,连接AD∵OA=OB，∴∠OAD=∠ODA。∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC∵DE⊥AB，∴∠AMO=∠DEO=90º，∴∠OAM=∠ODE，∴∠FAD=∠FDA，∴AF=DF2.（1）∵BC是直径，∴AB⊥AC，∴∠ABF+∠FBC+∠ACB=90°．∵弧AB=弧AF，∴∠ABF=∠ACB，∴2∠ACB+∠FBC=90°，又∠FBC=α，∴2∠ACB+α=90°，∴∠ACB=45°-o.5α；（2）∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴∠BAE=∠ACB．∵∠ABF=∠ACB，∴∠BAE=∠ABF，∴BE=AE．∵∠AME=90°-∠ABF，∠EAM=90°-∠ACB，而∠ABF=∠ACB，∴∠AME=∠EAM，∴EM=AE．∴BE=EM．3【解析】（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°，∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在直角△ABC中，BC===．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．例2.（1）证明：连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；∵AB=AC，∴BD=DC．∵OA=OB，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴∠ODF=∠DFA=90°，∴DF为⊙O的切线．（2）连接BE交OD于G；∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，∴∠EAD=∠BAD．∴弧ED=弧BD．∴ED=BD，OE=OB．∴OD垂直平分EB．∴EG=BG．又AO=BO，∴OG=0。5AE．在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2-DG2=BO2-OG2，∴2.（1）证明：连接OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，则DF为圆O的切线；（2）连接OG，∵AC与圆O相切，∴OG⊥AC，∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°，且OG=OD，∴四边形ODFG为边长为3的正方形，设AB=AC=x，则有AG=x-3-1=x-4，AO=x-3，在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2，即（x-3）2=（x-4）2+32，解得：x=8，则AC=8．例3（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OC．∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴直线CD与⊙O相切．（2）∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，∵∠CAB=30°，∴∠COE=2∠CAB=60°，∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC•tan60°=3倍根号3.．2解：（1）连接OE．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB。∵BE是△ABC的角平分线，∴∠OBE=∠EBC，∴∠OEB=∠EBC，∴OE∥BC。∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是圆O的切线；（2）连接OF．∵sinA=，∴∠A=30°∵圆O的半径为4，∴AO=2OE=8，∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12，∴BC=AB=6AC=6，∴CE=AC﹣AE=2．∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形．∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，?∠EOF=60°．∴S梯形OECF=（2+4）×2=6．S扇形EOF==∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6﹣．3解析：：（1）如答图（1），连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°.又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13，∴．（2）如答图（2），连接BC，与OP相交于M点，作PH⊥AB于点H，∵P点为C的中点，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又∵AB为直径，∴∠ACB=90°.∴∠ACB=∠OMB.∴OP∥AC.∴∠CAB=∠POB.又∵∠ACB=∠OHP=90°，∴△ACB∽△0HP.∴.又∵，∴，解得.∴AH=OA+OH=9.∵在Rt△OPH中，有。∴在RT△AHP中有.∴PA=．4解：（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED，∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∵∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠CAD，∴=，∴BC=CF；（3）证明：过C作CG⊥AB于G，∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD，在Rt△AGC和Rt△ADC中，∵，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF，∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，AF+DF+DF=AB，∴AF+2DF=AB．例4.（1）证明：∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB