湖北省黄冈中学、黄石二中2011届高三联考数学试题（理科）

-1-湖北省黄冈中学、黄石二中2011届高三联考数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若A={2，3，4}，B={x|x=n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为（）A．2B．3C．4D．52．已知nS是等差数列}{na的前n项和，且17611,35SSS则的值为（）A．117B．118C．119D．1203．已知函数()()()fxxaxb（其中ab）的图象如下面右图所示，则函数()xgxab的图象是（）A．B．C．D．4．已知:|231pxx，2:|60qxxx，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．由函数)(,)62cos()(2sin)(xfxxgxxf需要将的图象的图象得到的图象（）A．向左平移3个单位B．向左平移6个单位C．向右平移3个单位D．向右平移6个单位6．已知x0，y0，x+3y=1，则yx311的最小值是（）A．22B．2C．4D．327．在ABC中,3,ABBCABC的面积33[,]22ABCS,则AB与BC夹角的取值范围是f(x)-2-（）A．[,]43B．[,]64C．[,]63D．[,]328．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin2t（其中0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆／分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]9．函数|1||2||2011|yxxx（）A．图象无对称轴,且在R上不单调B．图象无对称轴,且在R上单调递增C．图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调D．图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增10．记集合0,1,2,3,4,5,6T，3124234,1,2,3,47777iaaaaMaTi，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2011个数是（）A．23411017777B．23410657777C．23411007777D．23410667777二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．不等式(1)(1)0xxx的解集为____________．12．已知两点(4,9)(2,3)PQ,，则直线PQ与y轴的交点分有向线段PQ的比为．13．已知na是等比数列，41252aa，，则13221nnaaaaaa=．14．对于函数2()fxaxbx,存在一个正数b,使得()fx的定义域和值域相同,则非零实数a的值为__________．15．若0,,,44，λ∈R，且3cos202，34sincos0，则cos2的值为=．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分10分）已知2()2cos23sincosfxxxxa，a为实常数。（I）求()fx的最小正周期；-3-（II）若()fx在[,]63上最大值与最小值之和为3，求a的值。17．（本题满分12分）ABC中内角,,ABC的对边分别为,,abc，向量2(2sin,3),(cos2,2cos1)2BmBnB且//mn（Ⅰ）求锐角B的大小，（Ⅱ）如果2b，求ABC的面积ABCS的最大值18．（本题满分12分）已知函数2()1(0)fxaxbxx,且函数()()fxgx与的图象关于直线yx对称,又(3)23,(1)0fg．（1）求()fx的值域；（2）是否存在实数m,使命题2:()(34)pfmmfm和13:()44mqg满足复合命题pq且为真命题?若存在,求出m的范围;若不存在,说明理由．19．（本题满分14分）随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注。已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1％的比率增长，而R型车前n-4-个月的销售总量Tn大致满足关系式：2228(1.011)nnTa．(24,)nnN（1）求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；（2）比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20％，并说明理由．（参考数据51.094.5828lg1.098.66lg1.01）20．（本题满分13分）已知函数4()log(41)xfxkx()kR是偶函数．（1）求k的值;（2）设44()log(2)3xgxaa,若函数()fx与()gx的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围．21．（本小题满分14分）已知数列na满足,3,121aa且2(12cos)sin,,22nnnnaanN（1）求21()kakN+-Î；（2）数列{},{}nnyb满足2111,nnyaby，且2n当时2222121111()nnnbyyyy．-5-证明当2n时，12221(1)nnbbnnn；（3）在（2）的条件下，试比较1231111(1)(1)(1)(1)nbbbb与4的大小关系．-6-参考答案1-5BCAAB6-10CBCDB11．(,1)(0,1)12．213．32(14)3n14．4a15．2216．解：（I）()1cos23sin2fxxxa2sin(2)16xa所以()fx的最小正周期T；………………………5分（II）[,]63x，则52[,]666x1sin(2)[,1]62x所以()fx是最大值为3a，最小值为a依题意有：323a，0a………………………10分17．解：（1）nm//BBB2cos3)12cos2(sin22BB2cos32sin即32tanB又B为锐角,02B322B3B……………………………………6分（2）得，由余弦定理acbcaBbB2cos2,32220422acca又acca222代入上式得：4ac（当且仅当2ca时等号成立。）343sin21acBacSABC（当且仅当2ca时等号成立。）………12分18．（1）由(3)23,(0)1,1,1ffab得,-7-于是2()1(0)fxxxx------------------------------------3分由21()1fxxx,此函数在0,是单调减函数,从而()fx的值域为(0,1]。------------------------------6分（2）假定存在的实数m满足题设，即f（m2－m）f（3m4）和13()44mg都成立又23331()1()4442f∴13()24g，∴11()()42mgg---------8分由()fx的值域为(0,1]，则()gx的定义域为(0,1]已证()fx在[0,)上是减函数，则()gx在(0,1]也是减函数，由减函数的定义得2340110142mmmm-------------------------------------------------11分解得，433m且m≠2．因此存在实数m使得命题：p且q为真命题，且m的取值范围为4[,2)(2,3)3．------12分19．解：（1）Q型车每月的销售量{na}足以首项a1=a，公比q=1+1％=1．01的等比数列．．．．．．（2分）前n个月的销售总量*(1.011)100(1.011),(,24)1.011nnnaSanNn且．．．．．．（4分）（2）2100(1.011)228(1.011)nnnnSTaa32100(1.011)228(1.011)(1.011)228(1.011)(1.01)57nnnnnaaa又321.0110,1.010,57nnnnST．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为na和nb，则11.01nnaa当n≥2时，2221228(1.011)228(1.011)nnnnnbTTaa22222228(1.011)1.014.58281.01nnaa．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）-8-111b4.5828(2280.0201a),20%baa或显然当n≥2时，若122120%,1.014.58281.015nnnnabaa2(1)1155lg1.091.011.01,1.011.09,18.664.58284.5828lg1.01nnnnn≥10,即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．．．．．．．．（14分）20．解：（1）由函数()fx是偶函数可知：()()fxfx44log(41)log(41)xxkxkx………………………2分441log241xxkx即2xkx对一切xR恒成立………………………4分12k………………………5分（2）函数()fx与()gx的图象有且只有一个公共点即方程4414log(41)log(2)23xxxaa有且只有一个实根…………………7分化简得：方程142223xxxaa有且只有一个实根令20xt，则方程24(1)103atat有且只有一个正根………………9分①314at，不合题意；………………………10分②304a或3………………………11分若3142at，不合题意；若132at………………………12分③一个正根与一个负根，即1011aa综上：实数a的取值范围是3(1,)………………………13分21．（1）设*21,.nkk=-?N由212121(21)(21)(12cos)sin122kkkkkaaapp+----=++=+21211.kkaa+-?=∴当*kÎN时，数列21{}ka-为等差数列．-9-∴211(1)1.kaakk-=+-=……（4分）（2）证：21nnyan当2n时，由2222121111()nnnbyyyy，得2222121111nnnbyyyy，即222211112(1)nbnn……①∴12222111(1)12nbnn……②……（6分）②式减①式，有12221(1)nnbbnnn，得证．……（8分）（3）解：当1n时，11124b；当2n时，12115(1)(1)244bb，由（2）知，当2n时，21222111(1)(1)nnnnbbbnnnbn，∴当3n时，1231111(1)(1)(1)(1)nbbbb3121231111nnbbbbbbbb3112123411111(1)nnnbbbbbbbbbb2222122222222123(1)111122[1]434(1)23(1)nnnbnnnn∵21111(2)(1)1nnnnnn，∴上式11111122[1(1)()(