圆锥曲线几何问答的转换

-!几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题：①若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k②若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系①可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大②若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB为钝角（再转为向量：0CACB；若点在圆上，则ACB为直角（0CACB）；若点在圆外，则ACB为锐角（0CACB）（3）三点共线问题①通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线②通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：1122,,,axybxy，则,ab共线1221xyxy；ab12120xxyy（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）-!3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点112233,,,,,AxyBxyCxy，则ABC的重心123123,33xxxyyyG（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IPACIQAQI在BAC的角平分线上AIACAIABAPAQACAB（4）P是以,DADB为邻边的平行四边形的顶点DPDADB（5）P是以,DADB为邻边的菱形的顶点：P在AB垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若,,ABC共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：ACABACAB，ACBCACBCBCAIQPAPDBAPDBABC-!二、典型例题：例1：如图：,AB分别是椭圆2222:10xyCabab的左右顶点，F为其右焦点，2是,AFFB的等差中项，3是,AFFB的等比中项（1）求椭圆C的方程（2）已知P是椭圆C上异于,AB的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQAP，并交直线l于点Q。证明：,,QPB三点共线解：（1）依题意可得：,0,,0,,0AaBaFc,AFcaBFac2是,AFFB的等差中项42AFFBacaca2a3是,AFFB的等比中项22223AFFBacacacb23b椭圆方程为：22143xy（2）由（1）可得：2,0,2,0,1,0ABF设:2APykx，设11,Pxy，联立直线与椭圆方程可得：22222234124316161202xykxkxkykx2211221612684343Akkxxxkk11212243kykxk2226812,4343kkPkk另一方面，因为FQAP1FQkk-!1:1FQyxk，联立方程：1132,2yxQkkx2,0B303224BQkkk22221201234368164243BPkkkkkkkkBQBPkk,,BQP三点共线例2：已知椭圆)0(12222babyax的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为21，且椭圆的离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）111222OMFSOMOFbc2::2:1:12ceabca1bc2222abc椭圆方程为：2212xy（2）设),(11yxP，),,(22yxQ由（1）可得：0,1,1,0MF1MFkF为△PQM的垂心MFPQ11PQMFkk设:PQyxm-!由F为△PQM的垂心可得：MPFQ1122,1,1,MPxyFQxy1212110MPFQxxyy①因为,PQ在直线yxm上1122yxmyxm，代入①可得：1212110xxxmxm即0)1)((222121mmmxxxx②考虑联立方程：2222yxmxy得0224322mmxx．22216122203mmm1243mxx,322221mxx．代入②可得：2222421033mmmmm解得：43m或1m当1m时，△PQM不存在，故舍去当34m时，所求直线l存在，直线l的方程为34xy小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例3：如图，椭圆)0(12222babyax的一个焦点是1,0F，O为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求-!椭圆的方程；（2）设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于,AB两点，若直线l绕点F任意转动，恒有222OAOBAB,求a的取值范围.解：（1）由图可得：10,3Mb由正三角形性质可得：3,63MFMFOk1033013MFbk3b2224abc椭圆方程为：22143xy（2）设:1lykx，1122,,,AxyBxy222OAOBAB222cos02OAOBABAOBOAOBAOB为钝角12120OAOBxxyy联立直线与椭圆方程：222222222222211ykxbxakxabbxayab，整理可得：222222222220akbxakxakab22222212122222222,akakabxxxxakbakb22221212121211yykxxkxxkxxk2222222222222222222222akabakkbabkkkkakbakba22222222212122220akabkbabkxxyyakb2222222220akabkbabk恒成立-!即2222222kababab恒成立22220abab221ba2222110aaa解得：152aa的取值范围是15,2例4：设,AB分别为椭圆222210xyabab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1（1）求椭圆的方程；（2）设P为直线4x上不同于点4,0的任意一点，若直线,APBP分别与椭圆相交于异于,AB的点,MN，证明：点B在以MN为直径的圆内解：（1）依题意可得2ac，且到右焦点距离的最小值为1ac可解得：2,1ac3b椭圆方程为22143xy（2）思路：若要证B在以MN为直径的圆内，只需证明MBN为钝角，即MBP为锐角，从而只需证明0BMBP，因为,AB坐标可求，所以只要设出AM直线（斜率为k），联立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而BMBP可用1k表示。即可判断BMBP的符号，进而完成证明解：由（1）可得2,0,2,0AB，设直线,AMBN的斜率分别为k，11,Mxy，则:2AMykx联立AM与椭圆方程可得：2223412ykxxy，消去y可得：2222431616120kxkxk2211221612684343AkkxxxkkAB(4,0)MNPoyx-!11212243kykxkk，即2226812,4343kkMkk设04,Py，因为P在直线AM上，所以0426ykk，即4,6Pk22216122,6,,4343kkBPkBMkk2222232124060434343kkkBPBMkkkkMBP为锐角，MBN为钝角M在以MN为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线24xy的焦点F的直线l与抛物线相交于,AB两点，与椭圆2233142yx的交点为,CD，是否存在直线l使得AFCFBFDF？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点0,1F，设:1lykxAFCFBFDFAFDFBFCF，不妨设AFDFBFCF则,AFFBDFFC设11223344,,,,,,,AxyBxyCxyDxy1122,1,,1AFxyFBxy3344,1,,1CFxyFDxy1234xxxx考虑联立直线与抛物线方程：2214404ykxxkxxy1222122144xxxkxxx，消去2x可得：2214k①-!联立直线与椭圆方程：222216314634ykxxkxxy，整理可得：2236610kxkx3442234426136136kxxxkxxxk22213636kk②由①②可得：22236436kkk，解得：211kk所以存在满足条件的直线，其方程为：1yx例6：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线220xpyp的准线方程为12y，过点4,0M作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O），直线l过点M与抛物线交于两点,PQ，与直线OA交于点N（1）求抛物线的方程（2）试问MNMNMPMQ的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解：（1）由准线方程可得：1122pp抛物线方程：22xy（2）设切点00,Axy，抛物线为212yx'yx切线斜率为0kx切线方程为：000yyxxx，代入4,0M及20012yx可得：2000142xxx，解得：00x（舍）或08x-!8,32A:4OAyx设:4PQxmy,,,MPNQ共线且M在x轴上11PQNNNNPQPQPQyyMNMNyyyyMPMQyyyyyy联立PQ和抛物线方程：222424xymyyxmy，整理可得：2282160mymy222816,PQPQmyyyymm再联立,OAPQ直线方程：416414Nyxyxmym22281621614PQNPQm