第七章-受限OLS

第七章线性约束最小二乘估计(受限最小二乘)一、多个回归系数的联合检验R2和F检验提供了对所有回归系数为零的原假设的检验，但有时我们会想对部分回归系数所组成的子集是否显著进行联合检验。考虑多元回归模型：uXXYkk221称这个模型为无条件模型（UR），因为关于回归系数没有任何假设。若想检验其中q个回归系数是否同时为零，上可将所有变量分为两组，第一组包含k-q个变量（包含常数项），第二组包含q个变量：uXXXXYkkqkqkqkqk11221如果后q个系数都为零，则修正的模型将为有条件模型（R）：uXXYqkqk221原假设则为：（约束条件）01kqk检验思路：若从模型中去掉这q个变量，对有条件模型进行估计的话，得到的残差平方和ESSR肯定会比相应的无条件模型的残差平方和ESSUR大，这一点和给回归模型增加解释变量会引起R2增大是一个样的。若原假设正确，去掉这q个变量将对方程的解释能力影响不大，ESSR将比ESSUR略有增加。合适的检验统计量为：),(~)/(/)(kNqFkNESSqESSESSFURURRq为原假设所隐含的参数限制（约束）条件的个数。根据F与R2之间的关系，有：URURURTSSESSR12RRRTSSESSR12两个回归方程具有相同的因变量，因此有TSSUR=TSSR，代入F统计量，可得：),(~)/()1(/)(222kNqFkNRqRRFURRUR若F统计量大于给定显著性水平下的临界值，则拒绝原假设，认为约束条件不成立。例1:为研究住房需求,用以下回归模型:uYpQlogloglog321家庭收入价格家庭所在地住房的单位要的住房面积个家庭中任一家庭所需::3120:YPQYpQlog96.0log247.017.4log^)11.0(:SE)017.0()026.0(371.02R该回归模型的估计为:（模型1）现在,假设希望知道黑人对住房的需求是否与白人的住房需求有所不同。为此，把原模型推广一下，允许不同的截距和斜率。设D为一个虚拟变量，对于黑人家庭取值为1，否则为0。推广模型为：uYDYpDpDQlogloglogloglog332211对模型进行估计，得以下回归结果：YDYpDpDQlog341.0log920.0log114.0log221.0006.017.4log^38.02R对包括虚拟变量在内的所有系数进行t检验，在5%的显著性水平下，a1、a2不显著，a3显著。不过我们希望检验所有虚拟变量的系数同是为零的原假设，即：a1=a2=a3=0（模型2）根据多个回归系数联合检验的思路，原模型为有条件模型，推广模型为无条件模型，相应的F统计量为：1.153114/)38.01(3/)371.038.0()/()1(/)(222kNRqRRFURRUR该Ｆ值在１％和５％的显著性水平下显著，因此拒绝黑人和白人的住房需求完全一样的原假设。二、关于回归系数线性函数的检验续例１：假设对例1的无条件模型进行了估计之后，希望对黑人住房需求的收入弹性为1的原假设进行检验，即检验。133将代入推广了的模型2，得到如下的有条件模型3331uYDYpDpDYDQ)log(logloglogloglog32211（模型3）估计得R2=0.3785相对于模型3，模型2为无条件模型，模型3的约束条件个数为1，则相应的F统计量为：56.73114/)38.01(1/)3785.038.0()/()1(/)(222kNRqRRFURRUR该Ｆ值在５％的显著性水平下显著，因此拒绝黑人住房需求的收入弹性为1的原假设。三、有关不同回归模型的系数是否相等的检验有时我们对是否应当将一个模型应用于两个不同的数据集没有把握，可以从两个回归方程是相同的原假设开始进行检验，称为Chow检验。考虑回归模型：)1(221NiuXXYikikii)1(221MjuXXYjkjkjj两个回归方程的所有系数可以有所不同，用OLS法对两个方程分别进行估计，由于对模型系数没有任何限制，可以用两个方程的残差平方和表示无条件平方和ESSUR，自由度为两个方程的自由度之和N+M-2k。若原假设为真，即则两个回归模型可以用一个回归模型表示：kk,,2211)1(221MNiuXXYikikii该模型为有约束条件的模型，用OLS法估计并计算有条件的残差平方和ESSR。如果原假设成立，则它所带来的条件限制不会影响模型的解释能力，ESSR也不会超过ESSUR太多。则同前可以对两个残差平方和的差是否显著进行F检验。)2,(~)2/(/)(kMNkFkMNESSkESSESSFURURR例3：假设我们认为住房需求最好由两个方程组成，一个描述黑人的住房需求，一个描述白人的住房需求，则有：)(logloglog321白人家庭uYpQ)(logloglog321黑人家庭YpQ希望对黑人的需求方程等于白人需求方程的原假设进行检验，即检验332211,,为了对上述假设进行检验，首先对两个模型进行估计，并将两个方程的残差平方和相加，得到无条件ESSUR=13640。若原假设为真，为模型简化为有条件模型：)(logloglog321所有家庭uYpQ对该有条件模型进行估计，得有条件ESSR=13838对两个残差平方和的差是否显著进行F检验。1.15)63120/(136403/)1364013838()2/(/)(kMNESSkESSESSFURURR该Ｆ值在５％的显著性水平下显著，因此拒绝黑人住房需求方程与白人完全相同的原假设。