平面向量的基本定理及坐标表示一课一练1

2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足OCOAOB，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为（）A、3ｘ＋2ｙ－11＝0B、（x-1）2+（y-2）2=5C、2ｘ－ｙ＝0D、ｘ＋2ｙ－5＝02、若向量a＝（x+3，x2－3x－4）与AB相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为A、－1B、－1或4C、4D、1或－43、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（）A、（1，5）或（5，5）B、（1，5）或（－3，－5）C、（5，－5）或（－3，－5）D、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）4、设i、j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且jiOA24，jiOB43，则△OAB的面积等于（）A、15B、10C、7.5D、55、己知P1(2,－1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,||2||21PPPP,则P点坐标为()A、(－2,11)B、()3,34C、(32,3)D、(2,－7)6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是。（）A、（－1，8）B，（－5，2）C、（1l，6）D、（5，2）7、已知O为原点，A，B点的坐标分别为（a，0），（0，a），其中常数a＞0，点P在线段AB上,且AP＝tAB（0≤t≤1），则OA·OP的最大值为（）A、aB、2aC、3aD、a28、已知a=(2,3),b=(4,7),则a在b上的投影值为（）A、13B、513C、565D、65二、填空题9、已知点A（－1，5），若向量AB与向量a＝（2，3）同向，且AB＝3a，则点B的坐标为10、平面上三个点，分别为A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D为线段BC的中点，则向量DA的坐标为三、解答题11、已知O是坐标原点，点A在第一象限，||43OA，60xOA，求向量OA的坐标、12、已知点A（－1，2），B（2，8）及13ACAB，13DABA，求点C、D和CD的坐标。13、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（－2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（－1，－2），求平行四边形的各个顶点坐标。14、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP=OA+tAB，求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。15、已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y－x）的对应关系可用v=f（u）表示。（1）证明：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；（2）设a=（1，1），b=（1，0），求向量f（a）及f（b）的坐标；（3）求使f（c）=（3，5）成立的向量c。参考答案一、选择题1、D；2、A；3、D；4、D；5、A；6、D；7、D；8、C二、填空题9、B（5，14）10、DA＝11(1,)2三、解答题11、解：设点A（ｘ，ｙ），则ｘ＝｜OA｜cos60＝43cos60＝23，ｙ＝｜OA｜sin60＝43sin60＝6，即A（23，6），所以OA＝（23，6）、12、解：设C（ｘ1，ｙ1），D（ｘ2，ｙ2），由题意可得AC＝（ｘ1＋1，ｙ1－2），(3,6)AB，DA＝（－1－ｘ2，2－ｙ2），BA＝（－3，－6）∵13ACAB，13DABA，∴（ｘ1＋1，ｙ1－2）＝13（3，6）＝（1，2）（－1－ｘ2，2－ｙ2）＝－13（－3，－6）＝（1，2），则有111122xy和221122xy，解得1104xy和2220xy、∴C、D的坐标分别为（0，4）和（－2，0）、因此CD＝（－2，－4）、13、解：设其余三个顶点的坐标为B（x1，y1），C（x2，y2），D（x3，y3）、因为M是AB的中点，所以3=221x，0=211y，解得x1=8，y1=－1、设MN的中点O（x0，y0），则x0=2)1(3=1，y0=2)2(0=－1，而O既是AC的中点，又是BD的中点，所以x0=22xxA，y0=22yyA，即1=222x，－1=212y、解得x2=4，y2=－3、同理解得x3=－6，y3=－1、所以B（8，－1），C（4，－3），D（－6，－1）、14、解：（1）OP=OA+tAB=（1+3t，2+3t）、若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=－32、若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=－31、若P在第二象限，只需，，032031tt∴－32＜t＜－31、（2）因为OA=（1，2），PB=（3－3t，3－3t），若OABP为平行四边形，则OA=PB、由于233133tt，无解，故四边形OABP不能构成平行四边形、15、（1）证明：设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则f（mx1+nx2，my1+ny2）=（my1+ny2，2my1+2ny2－mx1－nx2）、又mf（a）=（my1，2my1－mx1），nf（b）=（ny2，2ny2－nx2），所以mf（a）+nf（b）=（my1+ny2，2my1+2ny2－mx1－nx2）、所以f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）、（2）f（a）=（1，1），f（b）=（0，－1）、（3）由，，523xyy得.31yx，所以c=（1，3）、