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2007年高考数学周练试卷(四)理科一、选择题1.已知-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的范围是()A.(-132,172)B.(-72,112)C.(-72,132)D.(-92,132)2.设f:x→x2是集合A到集合B的映射,若B={1,2},则A∩B为()A.φB.{1}C.φ或{2}D.φ或{1}3.某银行储蓄卡的密码是一个4位数,某人用千位、百位上的数字之积作为十位,个位上的数字(如2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0,千位、百位上都能取0,这样设计出来的密码有()A.90个B.99个C.100个D.112个4.已知命题P、Q,则“P且Q为假命题”是“¬P或Q为假命题”的()A.仅充分条件B.仅必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件5.已知锐角α终边上一点的坐标为(2sin3,-2cos3),若一扇形的中心角为α且半径为2,则该扇形的面积为()A.6B.6-πC.2π-6D.以上都不对6.随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(12<ξ<52)的值为()A.23B.34C.45D.567.已知函数f(x),g(x),(x∈R),设不等式|f(x)|+|g(x)|<a(a>0)的解集为M,不等式|f(x)+g(x)|<a(a>0)的解集为N,则()A.N≠MB.M=NC.M≠ND.M-N8.若|a→|=2,|b→|=2,且(a→-b→)⊥a→,则a→与b→的夹角是()A.π6B.π4C.π3D.5π129.把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位,再向下平移2个单位后恰好与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为()A.3或13B.-3或13C.3或-13D.-3或-1310.在正项等差数列{an}中,前n项和为Sn,在正项等比数列{bn}中,前n项和为Tn,若a15=b5,a30=b20,则S30-S15T20-T5∈()A.(0,1)B.(12,1)C.[1,+∞]D.[12,2]题号12345678910答案二、填空题11.已知a→=(log22,2cos120°),则与a→同向共线的单位向量e→=____.12.设一个三角形的三边长为x,y,x2-xy+y2,则最长边与最短边的夹角等于()13.抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1(n∈N+),交x轴于An,Bn两点,则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2005B2005|的值为_14.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,则不等式f(2x+1)>f(2-x)的解集为___.15.若函数)(,)0,4()4sin()(xfPxyxfy则对称的图象关于点的图象和的表达式是16.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数(如34689).则五位“渐升数”共有个,若把这些数按从小到大的顺序排列,则第100个数为.三、解答题17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知m→=(bcosc,-1),n→=((c-3a)cosB,1),且m→与n→为共线向量,求sinB.18.已知f(x)=-4cos2x+43asinxcosx,将f(x)图象按向量b→=(-π4,2)平移后,图象关于直线x=π12对称.(1)求实数a的值,并求f(x)取得最大值时x的集合;(2)求f(x)的单调区间.19.设a>0,解关于x的不等式log2axx-1<1.20.有一块边长为4米的正方形钢板,现对其进行切割,焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计),有人用数学知识作了如下设计:在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长.(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积v1;(2)由于上述设计对材料有所浪费,请你重新设计,减少浪费,而且所得长方体容器的容积v2>v1.21.今有甲、乙两个篮球队进行比赛,规定两队中有一队胜4场则整个比赛宣告结束.假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是21.并记需要比赛的场数为ξ.(Ⅰ)求ξ大于5的概率;(Ⅱ)求ξ的分布列与数学期望.22.设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y,总有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求f(0)的值;(2)证明:当x<0时,f(x)>1;(3)证明:f(x)在R上单调递减;(4)若M={y|f(y)·f(1-a)≥f(1)},N={y|f(ax2+x+1-y)=1,x∈R},且M∩N≠φ,求a的取值范围.2007年高考数学周练试卷(四)参考答案1.D2.D3.C4.B5.B解:∵2sin3>0,-2cos3>0,∴α为锐角,又sinα=yr=-cos3=-sin(π2-3)=sin(3-π2),∴α=3-π2,∴S=12R2α=2(3-π2)=6-π.6.D解:P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1a=54.∴P(ξ=1)+P(ξ=2)=56.7.D解:特例法:如:|3x|+|-2x|<5M:-1<x<1|3x-2x|<5N:-5<x<5∴M-N|3x+2x|<5N:-1<x<1.8.B9.A10.C解:等差数列各项在一直线上,等比数列在一指数函数图象上,易知C成立.11.(255,-55).12.60°.解:不妨设x<y,易得x<x2-xy+y2<y,∴cosα=x2+y2-(x2-xy+y2)2xy=12,∴α=60°.13.20052006解:令y=0得x1=1n+1,x2=1n.∴|AnBn|=1n-1n+1.∴|A1B1|+…+|A2005B2005|=(1-12)+(12-13)+…+(12005-12006)=1-12006=20052006.14.{x|x<-3或x>13}解:依题得:f(|2x+1|)>f(|2-x|)|2x+1|>|2-x|平方得:3x2+8x-3>0x<-3或x>13.15.)4cos(x16.126,2478917.解:∵m→与n→共线,∴x1y2-x2y1=bcosC+(C-3a)cosB=0sinBcosC+(sinC-3sinA)cosB=0sin(B+C)=3sinAcosBcosB=13,sinB=223.18.(1)f(x)=23asin2x-2cos2x-2按b→=(-π4,2)平移后为g(x)=f(x+π4)+2=23acos2x+2sin2x.∵g(x)图象关于x=π12对称,∴g(0)=g(π6)23a=3a+3,∴a=1,f(x)=4sin(2x-π6)-2当f(x)max=2时,2x-π6=2kπ+π2即x∈{x|x=kπ+π3,k∈z}.(2)当2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,即kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈z时,f(x)递增.当2kπ+π2≤2x-π6≤2kπ+3π2即kπ+π3≤x≤kπ+5π6,k∈z时,f(x)递减.···xyPHFOF2x)yx2-xy+y219.解:log2axx-1<10<axx-1<2,由axx-1>0且a>0x<0或x>1.由axx-1<2(x-1)[(a-2)x+2]<0①当a=2时,x<1当a>2时,①化为(x-1)(x+2a-2)<022-a<x<1.当0<a<2时,①化为(x-1)(x+2a-2)>0x<1或>22-a.综上述:当a=2时,原不等式解为x<0.当a>2时,原不等式解为22-a<x<0.当0<a<2时,原不等式解为x<0或x>22-a.20.(1)设切去的小正方形边长为x,则长方体底面边长为4-2x,高为x,∴V1=(4-2x)2·x=4(x3-4x2+4x)(0<x<2)∴V1'=4(3x2-8x+4)=12(x-23)(x-2)当x<23时,V1'>0,当23<x<2时,V1'<0.∴当x=23时,V1max=12827.(2)重新设计如下:如图示:先在正方形一边的两个角处各切下一个边长为1米的小正方形,再将这两个小正方形焊在另一边的中间,然后焊成长方体容器,其容积V2=3×2×1=6m3>V1.21.解:(Ⅰ)依题意可知,ξ的可能取值最小为4.当ξ=4时,整个比赛只需比赛4场即结束,这意味着甲连胜4场,或乙连胜4场,于是,由互斥事件的概率计算公式,可得P(ξ=4)=2C44042121=81…………2分当ξ=5时,需要比赛5场整个比赛结束,意味着甲在第5场获胜,前4场中有3场获胜,或者乙在第5场获胜,前4场中有3场获胜.显然这两种情况是互斥的,于是P(ξ=5)=2[C3421213]·21=41…………4分∴P(ξ5)=1−[P(ξ=4)+P(ξ=5)]=1−[81+41]=85即ξ5的概率为85.…………6分(Ⅱ)∵ξ的可能取值为4,5,6,7,仿照(Ⅰ),可得P(ξ=6)=2[C35232121]·21=165…………7分P(ξ=7)=2[C36332121]·21=165…………8分∴ξ的分布列为:ξ4567P8141165165…………10分ξ的数学期望为:Eξ=4·81+5·41+6·165+7·165=1693.…………12分22.解:(1)显然,f(x)不恒等于0,令x=1,y=0时,得f(0)=1;(2)令y=-x≥0则1=f(x-x)=f(x)·f(-x),即f(-x)=1f(-x).由题0<f(-x)<1∴f(x)>1;(3)设x1<x2,则x2-x1>0,由题得(2)知f(x)>0.∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在R上单调递减;(4)由已知及(3)得:M={y|y≤a},N={y|y=ax2+x+1,x∈R}显然,当a≤0时,M∩N≠φ当a>0时,N={y|y=a(x+12a)2+1-14a,x∈R}要使M∩N≠φ,必须1-14a≤a.即4a2-4a+1≥0a∈R故所求的a的取值范围是a∈R.·Oa1·1y=aOxxyy
本文标题:2007年高考数学周练试卷(四)
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